Номер 16, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. $\cos 3x = \cos \frac{3x}{2} + \sin \frac{3x}{2}$

Для решения данного тригонометрического уравнения преобразуем его правую часть.

Исходное уравнение:

$\cos(3x) = \cos\frac{3x}{2} + \sin\frac{3x}{2}$

Правую часть уравнения можно преобразовать с помощью формулы введения вспомогательного угла $a \cos\phi + b \sin\phi = R \cos(\phi - \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\alpha = \frac{a}{R}$ и $\sin\alpha = \frac{b}{R}$.

В нашем случае $a = 1$, $b = 1$, $\phi = \frac{3x}{2}$.

Находим $R$: $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Находим вспомогательный угол $\alpha$: $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, правая часть уравнения принимает вид:

$\cos\frac{3x}{2} + \sin\frac{3x}{2} = \sqrt{2} \cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\cos(3x) = \sqrt{2} \cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Применим к левой части уравнения формулу косинуса двойного угла $\cos(2y) = 2\cos^2y - 1$. Полагая $y = \frac{3x}{2}$, получаем $\cos(3x) = 2\cos^2\frac{3x}{2} - 1$.

$2\cos^2\frac{3x}{2} - 1 = \sqrt{2} \cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Для упрощения введем замену. Пусть $t = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$. Отсюда $\frac{3x}{2} = t + \frac{\pi}{4}$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2\cos^2(t + \frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2} \cos t$

Выражение в левой части снова является формулой косинуса двойного угла: $2\cos^2(t + \frac{\pi}{4}) - 1 = \cos(2(t + \frac{\pi}{4})) = \cos(2t + \frac{\pi}{2})$.

Используем формулу приведения $\cos(y + \frac{\pi}{2}) = -\sin y$:

$\cos(2t + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2t)$

Уравнение принимает вид:

$-\sin(2t) = \sqrt{2} \cos t$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2t) = 2\sin t \cos t$:

$-2\sin t \cos t = \sqrt{2} \cos t$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\cos t$ за скобки:

$2\sin t \cos t + \sqrt{2} \cos t = 0$

$\cos t (2\sin t + \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $\cos t = 0$

$t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к переменной $x$, используя замену $t = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$:

$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

$\frac{3x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{2}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$

2. $2\sin t + \sqrt{2} = 0$

$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение имеет две серии решений:

а) $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к $x$:

$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{3x}{2} = 2\pi n$

$x = \frac{4\pi n}{3}$

б) $t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к $x$:

$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$

$\frac{3x}{2} = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi m = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$

$x = \frac{2}{3} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \right) = -\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi m}{3}$

Объединяя все полученные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$; $x = \frac{4\pi n}{3}$; $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi m}{3}$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.