Номер 17, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. $1 - \sin 4x = \cos 2x - \sin 2x$.

17.1. Решим тригонометрическое уравнение $1 - \sin(4x) = \cos(2x) - \sin(2x)$.

Для преобразования левой части уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$. Представим аргумент $\alpha$ в виде $2x$.

Заменим $\sin(4x)$ на $2\sin(2x)\cos(2x)$ и $1$ на $\sin^2(2x) + \cos^2(2x)$.

Уравнение примет вид:

$\sin^2(2x) + \cos^2(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = \cos(2x) - \sin(2x)$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \cos(2x)$ и $b = \sin(2x)$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = \cos(2x) - \sin(2x)$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$(\cos(2x) - \sin(2x))^2 - (\cos(2x) - \sin(2x)) = 0$.

Вынесем общий множитель $(\cos(2x) - \sin(2x))$ за скобки:

$(\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) - \sin(2x) - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1) $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

$\cos(2x) = \sin(2x)$.

Разделим обе части на $\cos(2x)$. Это возможно, так как если $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(2x) = 0$, что не может быть верным одновременно, так как $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) - \sin(2x) - 1 = 0$

$\cos(2x) - \sin(2x) = 1$.

Для решения этого уравнения применим метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x)) = 1$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos(2x) - \sin(\frac{\pi}{4})\sin(2x)) = 1$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$, получаем:

$\sqrt{2}\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два подслучая:

а) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = 2\pi k$

$x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$; $x = \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.