Номер 20, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. $4\cos^2 x - \sqrt{2}\text{ctg}x = 0$

Решим уравнение $4\cos^2 x - \sqrt{2}\operatorname{ctg} x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Перепишем уравнение, подставив определение котангенса:

$4\cos^2 x - \sqrt{2}\frac{\cos x}{\sin x} = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x \left(4\cos x - \frac{\sqrt{2}}{\sin x}\right) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $\sin x$ принимает значения $1$ или $-1$, которые не равны нулю. Следовательно, эта серия корней является решением исходного уравнения.

Случай 2: $4\cos x - \frac{\sqrt{2}}{\sin x} = 0$.

Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $\sin x$:

$4\sin x \cos x - \sqrt{2} = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла, $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. Тогда $4\sin x \cos x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$2\sin(2x) = \sqrt{2}$,

откуда $\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения записывается как $2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, поскольку если бы $\sin x = 0$, то и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 0$, что противоречит равенству $\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.