Номер 25, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

25. $3\text{ctg}^3 x + 4\text{ctg}^2 x + \text{ctg} x = 0$

Данное тригонометрическое уравнение является кубическим относительно функции котангенса. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $y = \operatorname{ctg} x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$3y^3 + 4y^2 + y = 0$

Это кубическое уравнение, которое можно решить методом разложения на множители. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(3y^2 + 4y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $y = 0$

2) $3y^2 + 4y + 1 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=3, b=4, c=1$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, мы получили три возможных значения для $y$: $0, -1, -\frac{1}{3}$.

Теперь выполним обратную замену $y = \operatorname{ctg} x$ и решим три простейших тригонометрических уравнения для каждого из найденных значений.

Случай 1: $\operatorname{ctg} x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\operatorname{ctg} x = -1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 3: $\operatorname{ctg} x = -\frac{1}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \operatorname{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$; $x = \operatorname{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.