Номер 3, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3.(2) а) $sin x > \frac{1}{5}$;

б) $sin 2x \ge -\frac{1}{8}$;

В) $sin \frac{3x}{5} < \frac{6}{7}$;

Г) $sin \left(x + \frac{\pi}{5}\right) \le -\frac{4}{5}$;

Д) $sin \left(\frac{2x}{5} + \frac{8\pi}{5}\right) \le \frac{4}{5}$.

а) Решаем неравенство $\sin x > \frac{1}{5}$. Решением уравнения $\sin x = \frac{1}{5}$ являются углы $x_1 = \arcsin(\frac{1}{5})$ и $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{5})$. Неравенство $\sin x > \frac{1}{5}$ выполняется для углов, которые на единичной окружности находятся выше прямой $y=\frac{1}{5}$, то есть между $x_1$ и $x_2$. С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение имеет вид: $\arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi n < x < \pi - \arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi n; \pi - \arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем неравенство $\sin 2x \ge -\frac{1}{8}$. Сделаем замену $t = 2x$, получим неравенство $\sin t \ge -\frac{1}{8}$. Решением уравнения $\sin t = -\frac{1}{8}$ являются углы $t_1 = \arcsin(-\frac{1}{8}) = -\arcsin(\frac{1}{8})$ и $t_2 = \pi - \arcsin(-\frac{1}{8}) = \pi + \arcsin(\frac{1}{8})$. Неравенство $\sin t \ge -\frac{1}{8}$ выполняется для углов $t$, лежащих на дуге от $t_1$ до $t_2$. С учетом периодичности, решение для $t$: $-\arcsin(\frac{1}{8}) + 2\pi n \le t \le \pi + \arcsin(\frac{1}{8}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выполним обратную замену $t=2x$: $-\arcsin(\frac{1}{8}) + 2\pi n \le 2x \le \pi + \arcsin(\frac{1}{8}) + 2\pi n$. Разделив все части двойного неравенства на 2, получим решение для $x$: $-\frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{8}) + \pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{8}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[-\frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{8}) + \pi n; \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{8}) + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем неравенство $\sin \frac{3x}{5} < \frac{6}{7}$. Сделаем замену $t = \frac{3x}{5}$, получим неравенство $\sin t < \frac{6}{7}$. Решением уравнения $\sin t = \frac{6}{7}$ являются углы $t_1 = \arcsin(\frac{6}{7})$ и $t_2 = \pi - \arcsin(\frac{6}{7})$. Неравенство $\sin t < \frac{6}{7}$ выполняется для углов $t$, лежащих на дуге от $t_2$ до $t_1 + 2\pi$. С учетом периодичности, решение для $t$: $\pi - \arcsin(\frac{6}{7}) + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin(\frac{6}{7}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выполним обратную замену $t=\frac{3x}{5}$: $\pi - \arcsin(\frac{6}{7}) + 2\pi n < \frac{3x}{5} < 2\pi + \arcsin(\frac{6}{7}) + 2\pi n$. Умножив все части на $\frac{5}{3}$, получим решение для $x$: $\frac{5}{3}(\pi - \arcsin(\frac{6}{7}) + 2\pi n) < x < \frac{5}{3}(2\pi + \arcsin(\frac{6}{7}) + 2\pi n)$, что равносильно $\frac{5\pi}{3} - \frac{5}{3}\arcsin(\frac{6}{7}) + \frac{10\pi n}{3} < x < \frac{10\pi}{3} + \frac{5}{3}\arcsin(\frac{6}{7}) + \frac{10\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{5\pi}{3} - \frac{5}{3}\arcsin(\frac{6}{7}) + \frac{10\pi n}{3}; \frac{10\pi}{3} + \frac{5}{3}\arcsin(\frac{6}{7}) + \frac{10\pi n}{3})$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем неравенство $\sin(x + \frac{\pi}{5}) \le -\frac{4}{5}$. Сделаем замену $t = x + \frac{\pi}{5}$, получим неравенство $\sin t \le -\frac{4}{5}$. Решением уравнения $\sin t = -\frac{4}{5}$ являются углы $t_1 = \arcsin(-\frac{4}{5}) = -\arcsin(\frac{4}{5})$ и $t_2 = \pi - \arcsin(-\frac{4}{5}) = \pi + \arcsin(\frac{4}{5})$. Неравенство $\sin t \le -\frac{4}{5}$ выполняется для углов $t$, лежащих на дуге от $t_2$ до $t_1+2\pi$. С учетом периодичности, решение для $t$: $\pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n \le t \le 2\pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{5}$: $\pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{5} \le 2\pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$. Вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства: $\pi - \frac{\pi}{5} + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n \le x \le 2\pi - \frac{\pi}{5} - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$, что равносильно $\frac{4\pi}{5} + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{5} - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[\frac{4\pi}{5} + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n; \frac{9\pi}{5} - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д) Решаем неравенство $\sin(\frac{2x}{5} + \frac{8\pi}{5}) \le \frac{4}{5}$. Упростим аргумент синуса, используя его периодичность ($2\pi$): $\sin(\frac{2x}{5} + \frac{8\pi}{5}) = \sin(\frac{2x}{5} + 2\pi - \frac{2\pi}{5}) = \sin(\frac{2x}{5} - \frac{2\pi}{5})$. Неравенство принимает вид $\sin(\frac{2x-2\pi}{5}) \le \frac{4}{5}$. Сделаем замену $t = \frac{2x-2\pi}{5}$, получим $\sin t \le \frac{4}{5}$. Решением уравнения $\sin t = \frac{4}{5}$ являются углы $t_1 = \arcsin(\frac{4}{5})$ и $t_2 = \pi - \arcsin(\frac{4}{5})$. Неравенство $\sin t \le \frac{4}{5}$ выполняется для углов $t$, лежащих на дуге от $t_2$ до $t_1+2\pi$. С учетом периодичности, решение для $t$: $\pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n \le t \le 2\pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выполним обратную замену: $\pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n \le \frac{2x-2\pi}{5} \le 2\pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$. Умножим на $\frac{5}{2}$: $\frac{5\pi}{2} - \frac{5}{2}\arcsin(\frac{4}{5}) + 5\pi n \le x-\pi \le 5\pi + \frac{5}{2}\arcsin(\frac{4}{5}) + 5\pi n$. Прибавим $\pi$ ко всем частям: $\frac{7\pi}{2} - \frac{5}{2}\arcsin(\frac{4}{5}) + 5\pi n \le x \le 6\pi + \frac{5}{2}\arcsin(\frac{4}{5}) + 5\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[\frac{7\pi}{2} - \frac{5}{2}\arcsin(\frac{4}{5}) + 5\pi n; 6\pi + \frac{5}{2}\arcsin(\frac{4}{5}) + 5\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.