Номер 27, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. (2) В начале маршрута в автобус сели 23 человека. Водитель очень спешил, поэтому останавливался только тогда, когда выйти хотели не менее четверти пассажиров, находящихся в автобусе. Заходить никто никогда не успевал. Сколько раз автобус мог остановиться?

Для решения задачи определим условия, при которых автобус может совершить остановку. Пусть $N$ — это текущее количество пассажиров в автобусе. Автобус остановится, если число желающих выйти, обозначим его $V$, будет не менее четверти от $N$. Поскольку $V$ должно быть целым числом, математически это условие выглядит так: $V \ge \lceil \frac{N}{4} \rceil$. При этом на каждой остановке могут выйти от $\lceil \frac{N}{4} \rceil$ до всех $N$ пассажиров.

Изначально в автобусе находится 23 человека. Вопрос "Сколько раз автобус мог остановиться?" предполагает нахождение всех возможных вариантов числа остановок.

Сначала найдем максимальное возможное количество остановок. Это произойдет в том случае, если на каждой остановке будет выходить минимально необходимое число пассажиров. Это позволит "растянуть" процесс на максимальное количество шагов.

1. 1-я остановка: в автобусе 23 человека. Минимально выходящих: $V_1 = \lceil \frac{23}{4} \rceil = \lceil 5.75 \rceil = 6$. Остается: $23 - 6 = 17$ пассажиров.

2. 2-я остановка: в автобусе 17 человек. Минимально выходящих: $V_2 = \lceil \frac{17}{4} \rceil = \lceil 4.25 \rceil = 5$. Остается: $17 - 5 = 12$ пассажиров.

3. 3-я остановка: в автобусе 12 человек. Минимально выходящих: $V_3 = \lceil \frac{12}{4} \rceil = 3$. Остается: $12 - 3 = 9$ пассажиров.

4. 4-я остановка: в автобусе 9 человек. Минимально выходящих: $V_4 = \lceil \frac{9}{4} \rceil = \lceil 2.25 \rceil = 3$. Остается: $9 - 3 = 6$ пассажиров.

5. 5-я остановка: в автобусе 6 человек. Минимально выходящих: $V_5 = \lceil \frac{6}{4} \rceil = \lceil 1.5 \rceil = 2$. Остается: $6 - 2 = 4$ пассажира.

6. 6-я остановка: в автобусе 4 человека. Минимально выходящих: $V_6 = \lceil \frac{4}{4} \rceil = 1$. Остается: $4 - 1 = 3$ пассажира.

7. 7-я остановка: в автобусе 3 человека. Минимально выходящих: $V_7 = \lceil \frac{3}{4} \rceil = \lceil 0.75 \rceil = 1$. Остается: $3 - 1 = 2$ пассажира.

8. 8-я остановка: в автобусе 2 человека. Минимально выходящих: $V_8 = \lceil \frac{2}{4} \rceil = \lceil 0.5 \rceil = 1$. Остается: $2 - 1 = 1$ пассажир.

9. 9-я остановка: в автобусе 1 человек. Минимально выходящих: $V_9 = \lceil \frac{1}{4} \rceil = \lceil 0.25 \rceil = 1$. Остается: $1 - 1 = 0$ пассажиров.

Таким образом, максимальное количество остановок, которое мог совершить автобус, равно 9.

Теперь найдем минимальное возможное количество остановок. Это произойдет, если на остановке выйдет максимальное число пассажиров. В нашем случае, на первой же остановке могут выйти все пассажиры.

В автобусе 23 человека. Условие для остановки — не менее $\lceil \frac{23}{4} \rceil = 6$ желающих выйти. Если все 23 пассажира решат выйти, условие $23 \ge 6$ будет выполнено. Автобус остановится, все пассажиры выйдут, и он станет пустым. Это будет единственная остановка.

Таким образом, минимальное количество остановок равно 1.

Поскольку на каждой остановке количество выходящих пассажиров $V$ может быть любым целым числом в диапазоне от $\lceil \frac{N}{4} \rceil$ до $N$, мы можем построить сценарий для любого количества остановок от 1 до 9. Например, чтобы получить 8 остановок, можно первые 7 раз высаживать минимальное число пассажиров (как в расчете максимального числа остановок), а на 8-й остановке высадить всех оставшихся (в тот момент в автобусе будет 2 человека, и условие $2 \ge \lceil \frac{2}{4} \rceil$ выполняется). Аналогично можно получить любое другое число остановок в этом диапазоне.

Ответ: Автобус мог остановиться любое целое число раз от 1 до 9 включительно (то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 раз).