Номер 5, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите неравенства (5-6):

5. (2) a) $ \sin x $ $ \frac{1}{2} $;

б) $ \sin 4x \ge \frac{1}{2} $;

в) $ \sin 5x < -\frac{1}{2} $;

г) $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) \le \frac{1}{2} $;

д) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{7}\right) \le -\frac{1}{2} $.

а) Так как в условии задачи, вероятно, пропущен знак, решим наиболее простое неравенство $ \sin x > \frac{1}{2} $. Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности это углы $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \sin x > \frac{1}{2} $ удовлетворяют значения $x$, для которых соответствующая точка на единичной окружности лежит выше прямой $ y = \frac{1}{2} $. Это соответствует дуге от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{5\pi}{6} $. С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $ \sin 4x \ge \frac{1}{2} $. Сделаем замену переменной $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \sin t \ge \frac{1}{2} $. Решением этого базового неравенства является промежуток $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Теперь выполним обратную замену: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $. Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 4.

Ответ: $ \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $ \sin 5x < -\frac{1}{2} $. Пусть $ t = 5x $, тогда получаем $ \sin t < -\frac{1}{2} $. Корни уравнения $ \sin t = -\frac{1}{2} $ — это $ t = -\frac{\pi}{6} $ и $ t = -\frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \sin t < -\frac{1}{2} $ удовлетворяют углы, находящиеся на дуге единичной окружности ниже прямой $ y = -\frac{1}{2} $. Это интервал $ (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}) $. Общее решение для $t$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Подставляем обратно $5x$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < 5x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Делим все части на 5.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{5} < x < -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $ \sin(2x - \frac{\pi}{5}) \le \frac{1}{2} $. Введем замену $ t = 2x - \frac{\pi}{5} $, что приводит к неравенству $ \sin t \le \frac{1}{2} $. Решения уравнения $ \sin t = \frac{1}{2} $ — это $ t = \frac{\pi}{6} $ и $ t = \frac{5\pi}{6} $. Неравенство $ \sin t \le \frac{1}{2} $ выполняется на большей дуге окружности, которую можно описать как $ -\frac{7\pi}{6} \le t \le \frac{\pi}{6} $ с учетом периодичности. Общее решение для $t$: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Выполним обратную замену: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le 2x - \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Прибавим $ \frac{\pi}{5} $ ко всем частям: $ -\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + 2\pi k $. Упрощаем: $ -\frac{29\pi}{30} + 2\pi k \le 2x \le \frac{11\pi}{30} + 2\pi k $. Делим на 2.

Ответ: $ -\frac{29\pi}{60} + \pi k \le x \le \frac{11\pi}{60} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) Решим неравенство $ \sin(x - \frac{\pi}{7}) \le -\frac{1}{2} $. Пусть $ t = x - \frac{\pi}{7} $, тогда $ \sin t \le -\frac{1}{2} $. Решения уравнения $ \sin t = -\frac{1}{2} $ — это $ t = -\frac{\pi}{6} $ и $ t = -\frac{5\pi}{6} $. Неравенство $ \sin t \le -\frac{1}{2} $ выполняется для углов на дуге между этими значениями. Общее решение для $t$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Подставляем $ x - \frac{\pi}{7} $ вместо $t$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{7} \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Прибавляем $ \frac{\pi}{7} $ ко всем частям: $ -\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{7} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7} + 2\pi k $. Приводим дроби к общему знаменателю 42 и упрощаем.

Ответ: $ -\frac{29\pi}{42} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{42} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.