Номер 1, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите неравенства (1-3):

1. (2)

а) $cos x > 0;$

б) $cos 2x \ge 0;$

В) $cos \frac{x}{2} < 0;$

г) $cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 0;$

Д) $cos \left(\frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4}\right) \le 0.$

а) Решим неравенство $\cos x > 0$.
Косинус положителен в I и IV четвертях. На единичной окружности это соответствует углам в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\cos 2x \ge 0$.
Сделаем замену $t = 2x$. Неравенство примет вид $\cos t \ge 0$.
Косинус неотрицателен в I и IV четвертях, включая границы. Это соответствует углам в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\cos \frac{x}{2} < 0$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\cos t < 0$.
Косинус отрицателен во II и III четвертях. Это соответствует углам в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = \frac{x}{2}$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на 2:
$\pi + 4\pi n < x < 3\pi + 4\pi n$.
Ответ: $x \in (\pi + 4\pi n; 3\pi + 4\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 0$.
Сделаем замену $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\cos t \le 0$.
Косинус неположителен во II и III четвертях, включая границы. Это соответствует углам в промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $\cos(\frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4}) \le 0$.
Сделаем замену $t = \frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\cos t \le 0$.
Решение для $t$ такое же, как в предыдущем пункте:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{5\pi}{4}$ из всех частей:
$\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5x}{4} \le \frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5x}{4} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Умножим все части на $\frac{4}{5}$:
$-\frac{3\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5} \le x \le \frac{\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}$.
Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}; \frac{\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}]$, где $n \in \mathbb{Z}$.