Номер 2, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) a) $\cos x > \frac{1}{2}$;

б) $2\cos 2x \ge -1$;

в) $2\cos 3x - 1 < 0$;

г) $2\cos \left(x+\frac{\pi}{7}\right)+1 \le 0$;

Д) $2\cos \left(\frac{3x}{7}+\frac{3\pi}{7}\right)\le 1$.

а) Исходное неравенство: $\cos x > \frac{1}{2}$.
Для решения этого тригонометрического неравенства сначала найдем значения $x$, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$. На единичной окружности это точки, соответствующие углам $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$.
Неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$ выполняется для тех точек единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{1}{2}$. Это дуга, расположенная между точками $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.
С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$) общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $2\cos 2x \ge -1$.
Разделим обе части неравенства на 2: $\cos 2x \ge -\frac{1}{2}$.
Введем новую переменную $t = 2x$. Неравенство примет вид: $\cos t \ge -\frac{1}{2}$.
Найдем значения $t$, для которых $\cos t = -\frac{1}{2}$. Это углы $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = -\frac{2\pi}{3}$ (или $t = \frac{4\pi}{3}$).
Неравенство $\cos t \ge -\frac{1}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности с абсциссой большей или равной $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
С учетом периодичности, решение для $t$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{3} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $2\cos 3x - 1 < 0$.
Перенесем 1 в правую часть и разделим на 2: $2\cos 3x < 1 \implies \cos 3x < \frac{1}{2}$.
Введем переменную $t = 3x$, получим $\cos t < \frac{1}{2}$.
Решения уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ это $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ выполняется на дуге единичной окружности от $\frac{\pi}{3}$ до $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Следовательно, решение для $t$: $\frac{\pi}{3} +