Номер 2, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) a) $\cos x > \frac{1}{2}$;

б) $2\cos 2x \ge -1$;

в) $2\cos 3x - 1 < 0$;

г) $2\cos \left(x+\frac{\pi}{7}\right)+1 \le 0$;

д) $2\cos \left(\frac{3x}{7}+\frac{3\pi}{7}\right)\le 1$.

а) $\cos x > 1/2$

• Отметим на оси $Ox$ точку $1/2$ и проведем вертикальную прямую.
• Нас интересует дуга окружности, находящаяся правее этой прямой.
• Граничные точки: $\pm \arccos(1/2) = \pm \pi/3$.
• Так как неравенство строгое, точки не включаются.
• Записываем интервал с учетом периода $2\pi k$: $-\pi/3 + 2\pi k < x < \pi/3 + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (-\pi/3 + 2\pi k; \pi/3 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos 2x \ge -1$

• Приведем к виду $\cos 2x \ge -1/2$.
• Пусть $2x = \alpha$. Решаем $\cos \alpha \ge -1/2$.
• Аркосинус $(-1/2)$ равен $2\pi/3$. Дуга "правее" прямой $x = -1/2$ ограничена значениями от $-2\pi/3$ до $2\pi/3$.
• $-2\pi/3 + 2\pi k \le 2x \le 2\pi/3 + 2\pi k$.
• Разделим на 2: $-\pi/3 + \pi k \le x \le \pi/3 + \pi k$.

Ответ: $x \in [-\pi/3 + \pi k; \pi/3 + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\cos 3x - 1 < 0$

• Приведем к виду $\cos 3x < 1/2$.
• Дуга, соответствующая условию "меньше", находится левее прямой $x = 1/2$.
• Интервал для аргумента $3x$: $\pi/3 + 2\pi k < 3x < 5\pi/3 + 2\pi k$ (или до $2\pi - \pi/3$).
• Разделим на 3: $\pi/9 + 2\pi k/3 < x < 5\pi/9 + 2\pi k/3$.

Ответ: $x \in (\pi/9 + 2\pi k/3; 5\pi/9 + 2\pi k/3), k \in \mathbb{Z}$.

г) $2\cos(x + \pi/7) + 1 \le 0$

• Приведем к виду $\cos(x + \pi/7) \le -1/2$.
• Ищем дугу левее $x = -1/2$. Это интервал $[2\pi/3 + 2\pi k; 4\pi/3 + 2\pi k]$.
• $2\pi/3 + 2\pi k \le x + \pi/7 \le 4\pi/3 + 2\pi k$.
• Вычтем $\pi/7$: $2\pi/3 - \pi/7 + 2\pi k \le x \le 4\pi/3 - \pi/7 + 2\pi k$.
• Приведем к общему знаменателю (21): $11\pi/21 + 2\pi k \le x \le 25\pi/21 + 2\pi k$.

Ответ: $x \in [11\pi/21 + 2\pi k; 25\pi/21 + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

д) $2\cos(3x/7 + 3\pi/7) \le 1$

• Приведем к виду $\cos(3x/7 + 3\pi/7) \le 1/2$.
• Интервал для аргумента: $\pi/3 + 2\pi k \le 3x/7 + 3\pi/7 \le 5\pi/3 + 2\pi k$.
• Вычтем $3\pi/7$: $(\pi/3 - 3\pi/7) + 2\pi k \le 3x/7 \le (5\pi/3 - 3\pi/7) + 2\pi k$.
• $-2\pi/21 + 2\pi k \le 3x/7 \le 26\pi/21 + 2\pi k$.
• Умножим на 7/3: $-2\pi/9 + 14\pi k/3 \le x \le 26\pi/9 + 14\pi k/3$.

Ответ: $x \in [-2\pi/9 + 14\pi k/3; 26\pi/9 + 14\pi k/3], k \in \mathbb{Z}$.