Номер 8, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{\sin x+1}$;

б) $y=\frac{5}{\sqrt{2\sin 3x+\sqrt{3}}}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{\sin x + 1}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:
$\sin x + 1 \ge 0$
$\sin x \ge -1$

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $\sin x$ всегда будет больше или равно $-1$. Следовательно, неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{5}{\sqrt{2\sin 3x + \sqrt{3}}}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным (так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не извлекается в области действительных чисел).

Составим и решим неравенство:
$2\sin 3x + \sqrt{3} > 0$
$2\sin 3x > -\sqrt{3}$
$\sin 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 3x$, получив $\sin t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями уравнения $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Используя тригонометрическую окружность, находим, что неравенство $\sin t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

С учетом периодичности общее решение для $t$ имеет вид:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 3:
$-\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.