Номер 2, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2.(2) a) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin \frac{x}{3} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin \frac{2x}{3} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sin \left(x+\frac{\pi}{5}\right) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

д) $\sin \left(\frac{5x}{6}+\frac{6\pi}{7}\right) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)

Дано неравенство $ \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это точки, соответствующие углам $ x = -\frac{\pi}{3} $ и $ x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} $.
Нам нужны значения $x$, для которых ордината (синус) на единичной окружности больше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге, расположенной выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что искомый интервал начинается в точке $ -\frac{\pi}{3} $ и заканчивается в точке $ \frac{4\pi}{3} $.
Учитывая периодичность функции синус, общее решение неравенства имеет вид:
$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано неравенство $ \sin \frac{x}{3} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Введем замену $ t = \frac{x}{3} $. Неравенство примет вид $ \sin t \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Аналогично предыдущему пункту, решением этого неравенства для $t$ будет интервал $ -\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{4\pi}{3} $, с учетом периодичности:
$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Теперь выполним обратную замену $ t = \frac{x}{3} $:
$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{3} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $.
Умножим все части двойного неравенства на 3, чтобы выразить $x$:
$ 3(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) \le x \le 3(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k) $.
$ -\pi + 6\pi k \le x \le 4\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x \in [-\pi + 6\pi k; 4\pi + 6\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано неравенство $ \sin \frac{2x}{3} < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Введем замену $ t = \frac{2x}{3} $. Неравенство примет вид $ \sin t < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Нам нужны значения $t$, для которых синус меньше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это дуга, лежащая ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга заключена между точками $ \frac{4\pi}{3} $ и $ \frac{5\pi}{3} $. Или, что эквивалентно, между $ -\frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = \frac{2x}{3} $:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \frac{2x}{3} < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $.
Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:
$ \frac{3}{2}(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k) < x < \frac{3}{2}(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) $.
$ -\pi + 3\pi k < x < -\frac{\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x \in (-\pi + 3\pi k; -\frac{\pi}{2} + 3\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано неравенство $ \sin(x + \frac{\pi}{5}) \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Введем замену $ t = x + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решениями уравнения $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются $ t = \frac{\pi}{3} $ и $ t = \frac{2\pi}{3} $.
Неравенству $ \sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют все точки на единичной окружности, кроме дуги, где $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ (то есть дуги между $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $).
Следовательно, решение для $t$ можно записать как $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1) $, что то же самое, что и $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = x + \frac{\pi}{5} $:
$ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{5} \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi k $.
Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей неравенства:
$ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{10\pi - 3\pi}{15} + 2\pi k \le x \le \frac{35\pi - 3\pi}{15} + 2\pi k $.
$ \frac{7\pi}{15} + 2\pi k \le x \le \frac{32\pi}{15} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x \in [\frac{7\pi}{15} + 2\pi k; \frac{32\pi}{15} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано неравенство $ \sin(\frac{5x}{6} + \frac{6\pi}{7}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Введем замену $ t = \frac{5x}{6} + \frac{6\pi}{7} $. Неравенство примет вид $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Как и в пункте в), но с нестрогим неравенством, решение для $t$ будет:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{5x}{6} + \frac{6\pi}{7} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $.
Вычтем $ \frac{6\pi}{7} $ из всех частей:
$ -\frac{2\pi}{3} - \frac{6\pi}{7} + 2\pi k \le \frac{5x}{6} \le -\frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{7} + 2\pi k $.
Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$ \frac{-14\pi - 18\pi}{21} + 2\pi k \le \frac{5x}{6} \le \frac{-7\pi - 18\pi}{21} + 2\pi k $.
$ -\frac{32\pi}{21} + 2\pi k \le \frac{5x}{6} \le -\frac{25\pi}{21} + 2\pi k $.
Умножим все части на $ \frac{6}{5} $:
$ \frac{6}{5} \cdot (-\frac{32\pi}{21}) + \frac{6}{5} \cdot 2\pi k \le x \le \frac{6}{5} \cdot (-\frac{25\pi}{21}) + \frac{6}{5} \cdot 2\pi k $.
Упростим выражения:
$ -\frac{64\pi}{35} + \frac{12\pi k}{5} \le x \le -\frac{10\pi}{7} + \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x \in [-\frac{64\pi}{35} + \frac{12\pi k}{5}; -\frac{10\pi}{7} + \frac{12\pi k}{5}], k \in \mathbb{Z}$.