Номер 28, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

28. (2) Упростите выражение

$\frac{(pq^{-1}+1)^2}{pq^{-1}-p^{-1}} \cdot \frac{p^3q^{-3}-1}{p^2q^{-2}+pq^{-1}+1} : \frac{p^3q^{-3}+1}{pq^{-1}+p^{-1}q-1}$

28. (2) Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Исходное выражение представляет собой произведение и частное дробей:

$ \frac{(pq^{-1}+1)^2}{pq^{-1}-p^{-1}q} \cdot \frac{p^3q^{-3}-1}{p^2q^{-2}+pq^{-1}+1} : \frac{p^3q^{-3}+1}{pq^{-1}+p^{-1}q-1} $

Заменим операцию деления на умножение, перевернув последнюю дробь (делитель):

$ \frac{(pq^{-1}+1)^2}{pq^{-1}-p^{-1}q} \cdot \frac{p^3q^{-3}-1}{p^2q^{-2}+pq^{-1}+1} \cdot \frac{pq^{-1}+p^{-1}q-1}{p^3q^{-3}+1} $

Чтобы упростить работу с выражением, введем замену. Пусть $a = pq^{-1}$. Тогда:

$ p^{-1}q = (p^{-1})^{-1}(q^{-1})^{-1} = (pq^{-1})^{-1} = a^{-1} $

$ p^2q^{-2} = (pq^{-1})^2 = a^2 $

$ p^3q^{-3} = (pq^{-1})^3 = a^3 $

Подставим новую переменную $a$ в наше выражение:

$ \frac{(a+1)^2}{a-a^{-1}} \cdot \frac{a^3-1}{a^2+a+1} \cdot \frac{a+a^{-1}-1}{a^3+1} $

Теперь упростим каждую из трех дробей по отдельности.

1. Упрощение первой дроби:

$ \frac{(a+1)^2}{a-a^{-1}} = \frac{(a+1)^2}{a-\frac{1}{a}} = \frac{(a+1)^2}{\frac{a^2-1}{a}} = \frac{a(a+1)^2}{a^2-1} $

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:

$ \frac{a(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a(a+1)}{a-1} $

2. Упрощение второй дроби. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{a^3-1}{a^2+a+1} = \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a^2+a+1} = a-1 $

3. Упрощение третьей дроби. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ \frac{a+a^{-1}-1}{a^3+1} = \frac{a+\frac{1}{a}-1}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{\frac{a^2+1-a}{a}}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a^2-a+1}{a(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{1}{a(a+1)} $

Теперь, когда все три дроби упрощены, перемножим их:

$ \frac{a(a+1)}{a-1} \cdot (a-1) \cdot \frac{1}{a(a+1)} $

Запишем все под одной чертой и проведем сокращение:

$ \frac{a(a+1)(a-1)}{(a-1)a(a+1)} = 1 $

Все множители в числителе и знаменателе сокращаются.

Ответ: 1