Номер 23, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. $\sin \frac{\pi x}{2} + \cos \frac{\pi x}{2} = \sin \pi x + 1.$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся методом замены переменной и тригонометрическими формулами.

Исходное уравнение:

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = \sin(\pi x) + 1 $$

В правой части уравнения используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Применим её для $\sin(\pi x)$, где $\alpha = \frac{\pi x}{2}$:

$$ \sin(\pi x) = 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} $$

Подставим это в исходное уравнение:

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} + 1 $$

Введем замену: пусть $t = \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2}$.

Чтобы выразить произведение $\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$$ t^2 = \left(\sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2}\right)^2 = \sin^2\frac{\pi x}{2} + \cos^2\frac{\pi x}{2} + 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} $$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$$ t^2 = 1 + 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} $$

Теперь подставим $t$ и $t^2$ в преобразованное уравнение $ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} + 1 $:

$$ t = (t^2 - 1) + 1 $$

$$ t = t^2 $$

Решим это простое квадратное уравнение относительно $t$:

$$ t^2 - t = 0 $$

$$ t(t - 1) = 0 $$

Уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$ и рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 0$

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 0 $$

$$ \sin\frac{\pi x}{2} = -\cos\frac{\pi x}{2} $$

Разделим обе части на $\cos\frac{\pi x}{2}$ (это допустимо, так как если $\cos\frac{\pi x}{2}=0$, то и $\sin\frac{\pi x}{2}=0$, что невозможно одновременно).

$$ \tan\frac{\pi x}{2} = -1 $$

Решаем это уравнение:

$$ \frac{\pi x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

$$ x = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4} + k\right) $$

$$ x = -\frac{1}{2} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Случай 2: $t = 1$

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 1 $$

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{\pi x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{\pi x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos\frac{\pi}{4}$ и $\sin\frac{\pi}{4}$ соответственно:

$$ \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi x}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

По формуле синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ сворачиваем левую часть:

$$ \sin\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Это уравнение имеет два семейства решений:

а) $$ \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi x}{2} = 2\pi n $$

$$ x = 4n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

б) $$ \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{\pi x}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $$

$$ x = 1 + 4n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = -\frac{1}{2} + 2k; \quad x = 4n; \quad x = 1 + 4n, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.