Номер 26, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26. $ \cos^3 \left( \left( \arccos \frac{1}{2} \right) x \right) + \sin^3 \left( \pi + \frac{\pi x}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi x}{3} \right). $

Для начала упростим выражение в уравнении, вычисляя известные значения и используя тригонометрические формулы приведения.

1. Вычислим значение арккосинуса: $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Тогда первый член уравнения примет вид: $cos^3\left(\left(\arccos\frac{1}{2}\right)x\right) = cos^3\left(\frac{\pi x}{3}\right)$.

2. Упростим второй член, используя формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin^3\left(\pi + \frac{\pi x}{3}\right) = \left(-\sin\left(\frac{\pi x}{3}\right)\right)^3 = -\sin^3\left(\frac{\pi x}{3}\right)$.

3. Упростим правую часть уравнения, используя формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha)$.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi x}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi x}{3}\right)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$cos^3\left(\frac{\pi x}{3}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi x}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi x}{3}\right)$.

Далее, преобразуем обе части уравнения. К левой части применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а правую часть представим с помощью формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Левая часть: $\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(\cos^2\frac{\pi x}{3} + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3} + \sin^2\frac{\pi x}{3}\right)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3}\right)$.

Правая часть: $\cos\left(2 \cdot \frac{\pi x}{3}\right) = \cos^2\frac{\pi x}{3} - \sin^2\frac{\pi x}{3}$.
Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(\cos\frac{\pi x}{3} + \sin\frac{\pi x}{3}\right)$.

Теперь уравнение имеет вид:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3}\right) = \left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(\cos\frac{\pi x}{3} + \sin\frac{\pi x}{3}\right)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)$ за скобки:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right) \left[ \left(1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3}\right) - \left(\cos\frac{\pi x}{3} + \sin\frac{\pi x}{3}\right) \right] = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений.

1) $\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3} = 0$.
$\cos\frac{\pi x}{3} = \sin\frac{\pi x}{3}$.
Разделив обе части на $\cos\frac{\pi x}{3}$ (который не равен нулю, так как в противном случае и синус был бы равен нулю, что невозможно), получим:
$\tan\frac{\pi x}{3} = 1$.
$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{3}{4} + 3n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3} - \cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3} = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(1 - \sin\frac{\pi x}{3}) - \cos\frac{\pi x}{3}(1 - \sin\frac{\pi x}{3}) = 0$.
$(1 - \sin\frac{\pi x}{3})(1 - \cos\frac{\pi x}{3}) = 0$.
Это уравнение также распадается на два:

а) $1 - \sin\frac{\pi x}{3} = 0 \implies \sin\frac{\pi x}{3} = 1$.
$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{3}{2} + 6k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 - \cos\frac{\pi x}{3} = 0 \implies \cos\frac{\pi x}{3} = 1$.
$\frac{\pi x}{3} = 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = 6m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все три полученные серии решений, записываем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{3}{4} + 3n;\; x = \frac{3}{2} + 6k;\; x = 6m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.