Номер 4, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) Найдите область определения функции:

а) $y=\frac{5}{\sqrt{1-2\sin 2x}}$

б) $y=\sqrt{\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

а) $y = \frac{5}{\sqrt{1 - 2\sin 2x}}$

Область определения функции находится из условия, что выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго больше нуля (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю).

Решим неравенство:

$1 - 2\sin 2x > 0$

$1 > 2\sin 2x$

$\sin 2x < \frac{1}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 2x$. Получим $\sin t < \frac{1}{2}$.

На единичной окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y). Условие $\sin t < \frac{1}{2}$ выполняется для углов, точки которых на окружности лежат ниже прямой $y=\frac{1}{2}$.

Точки, в которых $\sin t = \frac{1}{2}$, соответствуют углам $t = \frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, решение неравенства $\sin t < \frac{1}{2}$ с учетом периодичности синуса ($2\pi$) будет:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, что эквивалентно записи $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{12} + \pi n; \frac{\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sqrt{\sin(2x - \frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Область определения этой функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$

$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

Введем замену $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид:

$\sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

Условие $\sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, точки которых на единичной окружности лежат на прямой $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или выше нее.

Точки, в которых $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют углам $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, решение неравенства $\sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ с учетом периодичности:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x - \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi n \le 2x \le \frac{9\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi n$

$\frac{5\pi}{12} + 2\pi n \le 2x \le \frac{11\pi}{12} + 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{5\pi}{24} + \pi n \le x \le \frac{11\pi}{24} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{5\pi}{24} + \pi n; \frac{11\pi}{24} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.