Номер 7, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) Решите неравенства:

а) $sin x > 1;$

б) $sin \frac{1}{4x} \ge -1;$

в) $sin \frac{x}{7} < -1;$

г) $sin\left(\sqrt{x + \frac{\pi}{17}}\right) \le 1;$

д) $sin\left(\sqrt{\frac{4\pi}{11} - \frac{4x}{11}}\right) \ge -1.$

а) Рассмотрим неравенство $sin(x) > 1$. Область значений функции $y=sin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $sin(x)$ не может быть больше 1. Следовательно, неравенство $sin(x) > 1$ не имеет решений. Ответ: $x \in \emptyset$.

б) Рассмотрим неравенство $sin\frac{1}{4x} \ge -1$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется неравенство $sin(t) \ge -1$. Данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Выражение $sin\frac{1}{4x}$ определено, если определен его аргумент $\frac{1}{4x}$. Аргумент определен, когда знаменатель не равен нулю. $4x \neq 0$ $x \neq 0$ Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме 0. Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Рассмотрим неравенство $sin\frac{x}{7} < -1$. Область значений функции $y=sin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ значение $sin(t)$ не может быть меньше -1. Следовательно, неравенство $sin\frac{x}{7} < -1$ не имеет решений. Ответ: $x \in \emptyset$.

г) Рассмотрим неравенство $sin(\sqrt{x+\frac{\pi}{17}}) \le 1$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется неравенство $sin(t) \le 1$. Данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Выражение $sin(\sqrt{x+\frac{\pi}{17}})$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно. $x+\frac{\pi}{17} \ge 0$ $x \ge -\frac{\pi}{17}$ Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, больших или равных $-\frac{\pi}{17}$. Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{17}; +\infty)$.

д) Рассмотрим неравенство $sin(\sqrt{\frac{4\pi}{11}-\frac{4x}{11}}) \ge -1$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется неравенство $sin(t) \ge -1$. Данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Выражение $sin(\sqrt{\frac{4\pi}{11}-\frac{4x}{11}})$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно. $\frac{4\pi}{11}-\frac{4x}{11} \ge 0$ Вынесем общий множитель $\frac{4}{11}$ за скобки: $\frac{4}{11}(\pi - x) \ge 0$ Так как $\frac{4}{11} > 0$, то $\pi - x \ge 0$. $\pi \ge x$, или $x \le \pi$. Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, меньших или равных $\pi$. Ответ: $x \in (-\infty; \pi]$.