Номер 3, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2)

а) $2 \cos x \ge \sqrt{3}$;

б) $\cos \frac{x}{2} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

В) $\cos \frac{2x}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Г) $2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3} \le 0$;

Д) $2 \cos \left(\frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}\right) \le \sqrt{3}$.

а) Исходное неравенство: $2\cos x \ge \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2: $\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является множество значений $x$, для которых косинус больше или равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.
С учетом периодичности функции косинуса (период $2\pi$), общее решение имеет вид:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $\cos\frac{x}{2} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид: $\cos t \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на 2, чтобы выразить $x$:
$-\frac{5\pi}{3} + 4\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{3} + 4\pi n; \frac{5\pi}{3} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $\cos\frac{2x}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2x}{3}$. Неравенство примет вид: $\cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \frac{2x}{3} < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$, чтобы выразить $x$:
$\frac{3}{2} \cdot (\frac{\pi}{6} + 2\pi n) < x < \frac{3}{2} \cdot (\frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.
$\frac{3\pi}{12} + 3\pi n < x < \frac{33\pi}{12} + 3\pi n$.
$\frac{\pi}{4} + 3\pi n < x < \frac{11\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 3\pi n; \frac{11\pi}{4} + 3\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное неравенство: $2\cos(x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \le 0$.
Преобразуем неравенство: $2\cos(x + \frac{\pi}{6}) \le -\sqrt{3}$, откуда $\cos(x + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = x + \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид: $\cos t \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$\frac{4\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{6\pi}{6} + 2\pi n$.
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

д) Исходное неравенство: $2\cos(\frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}) \le \sqrt{3}$.
Преобразуем неравенство: $\cos(\frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}$. Неравенство примет вид: $\cos t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{7\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{2x}{5} \le \frac{11\pi}{6} - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{6\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{2x}{5} \le \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\pi + 2\pi n \le \frac{2x}{5} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на $\frac{5}{2}$:
$\frac{5}{2}(-\pi + 2\pi n) \le x \le \frac{5}{2}(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$.
$-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3} + 5\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n; \frac{5\pi}{3} + 5\pi n], n \in \mathbb{Z}$.