Номер 1, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите неравенства (1-5):

1. (2)

a) $tg x > 0$;

б) $tg 4x \ge 0$;

в) $tg \frac{x}{4} < 0$;

г) $tg \left(x + \frac{\pi}{7}\right) \le 0$;

д) $tg \left(\frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}\right) \le 0$.

а) $tgx > 0$

Чтобы решить неравенство $tgx > 0$, определим, в каких четвертях тригонометрического круга тангенс положителен. Это I и III четверти. Период функции $y=tgx$ равен $\pi$.

Решение для основного периода $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ соответствует интервалу $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность, общее решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства:

$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg4x \ge 0$

Введем замену переменной: пусть $t = 4x$. Неравенство принимает вид $tg t \ge 0$.

Решением этого неравенства является совокупность промежутков, где тангенс неотрицателен. Это соответствует углам в I и III четвертях, включая границы, где тангенс равен нулю ($t=0, \pi, 2\pi, ...$).

Таким образом, $\pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 4x$:

$\pi n \le 4x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{\pi n}{4} \le x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi n}{4}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}), n \in \mathbb{Z}$.

в) $tg\frac{x}{4} < 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{4}$. Неравенство принимает вид $tg t < 0$.

Тангенс отрицателен во II и IV четвертях.

Решение для основного периода $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ соответствует интервалу $-\frac{\pi}{2} < t < 0$.

С учетом периодичности, общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{4} < \pi n$

Умножим все части неравенства на 4:

$-2\pi + 4\pi n < x < 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-2\pi + 4\pi n; 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) $tg(x+\frac{\pi}{7}) \le 0$

Введем замену переменной: пусть $t = x+\frac{\pi}{7}$. Неравенство принимает вид $tg t \le 0$.

Решением этого неравенства является совокупность промежутков, где тангенс неположителен. Это II и IV четверти, включая границы, где тангенс равен нулю.

Таким образом, $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x+\frac{\pi}{7}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{7} \le \pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{7}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7} + \pi n < x \le \pi n - \frac{\pi}{7}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $-\frac{7\pi}{14} - \frac{2\pi}{14} = -\frac{9\pi}{14}$.

Получаем окончательное решение:

$-\frac{9\pi}{14} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{7} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{9\pi}{14} + \pi n; -\frac{\pi}{7} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

д) $tg(\frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}) \le 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}$. Неравенство принимает вид $tg t \le 0$.

Решение этого неравенства, как и в предыдущем пункте: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7} \le \pi n$

Вычтем $\frac{6\pi}{7}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{7} + \pi n < \frac{6x}{7} \le \pi n - \frac{6\pi}{7}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $-\frac{7\pi}{14} - \frac{12\pi}{14} = -\frac{19\pi}{14}$.

$-\frac{19\pi}{14} + \pi n < \frac{6x}{7} \le -\frac{6\pi}{7} + \pi n$

Умножим все части неравенства на $\frac{7}{6}$:

$\frac{7}{6} \cdot (-\frac{19\pi}{14} + \pi n) < x \le \frac{7}{6} \cdot (-\frac{6\pi}{7} + \pi n)$

$-\frac{19\pi}{12} + \frac{7\pi n}{6} < x \le -\pi + \frac{7\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{19\pi}{12} + \frac{7\pi n}{6}; -\pi + \frac{7\pi n}{6}], n \in \mathbb{Z}$.