Номер 3, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2)

a) $ \text{tg}x > -\sqrt{3} $

б) $ \text{tg}3x - \sqrt{3} \ge 0 $

В) $ \text{tg}\frac{x}{5} < \sqrt{3} $

г) $ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} \le 0 $

Д) $ \text{tg}\left(\frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}\right) \le -\sqrt{3} $

а) $tg x > -\sqrt{3}$

Решение простейшего тригонометрического неравенства вида $tg x > a$ имеет вид: $\text{arctg}(a) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$.

Найдём арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставим значение в общую формулу решения:

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg3x - \sqrt{3} \ge 0$

Перенесём $\sqrt{3}$ в правую часть неравенства:

$tg3x \ge \sqrt{3}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид $tg t \ge \sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t \ge a$ имеет вид: $\text{arctg}(a) + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \le 3x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $tg\frac{x}{5} < \sqrt{3}$

Пусть $t = \frac{x}{5}$. Неравенство примет вид $tg t < \sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t < a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{5}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{5} < \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Умножим все части неравенства на 5, чтобы найти $x$:

$-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 5\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n; \frac{5\pi}{3} + 5\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $tg(x + \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \le 0$

Перенесём $\sqrt{3}$ в правую часть:

$tg(x + \frac{\pi}{3}) \le -\sqrt{3}$.

Пусть $t = x + \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $tg t \le -\sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t \le a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$-\frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi n < x \le -\frac{2\pi}{3} + \pi n$.

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n < x \le -\frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + \pi n; -\frac{2\pi}{3} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

д) $tg(\frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}) \le -\sqrt{3}$

Пусть $t = \frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}$. Неравенство примет вид $tg t \le -\sqrt{3}$.

Решение неравенства вида $tg t \le a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Найдём арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выполним обратную замену $t = \frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{7x}{2} + \frac{5\pi}{6} \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Вычтем $\frac{5\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

$-\frac{3\pi+5\pi}{6} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{2\pi+5\pi}{6} + \pi n$.

$-\frac{8\pi}{6} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{7\pi}{6} + \pi n$.

$-\frac{4\pi}{3} + \pi n < \frac{7x}{2} \le -\frac{7\pi}{6} + \pi n$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{7}$:

$\frac{2}{7}(-\frac{4\pi}{3} + \pi n) < x \le \frac{2}{7}(-\frac{7\pi}{6} + \pi n)$.

$-\frac{8\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7} < x \le -\frac{14\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}$.

$-\frac{8\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7} < x \le -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{8\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}; -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{7}]$, $n \in \mathbb{Z}$.