Номер 6, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите неравенства (6-10):

6. (2)

a) $\text{ctg } x > 0$;

б) $\text{ctg } 5x \geq 0$;

в) $\text{ctg } \frac{x}{5} < 0$;

г) $\text{ctg } \left(x - \frac{\pi}{9}\right) \leq 0$;

д) $\text{ctg } \left(\frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5}\right) \leq 0$.

а) $ctg x > 0$

Функция котангенс, $ctg(t)$, положительна, когда ее аргумент $t$ находится в первой или третьей координатных четвертях. Учитывая периодичность функции, равную $\pi$, общее решение неравенства $ctg(t) > 0$ имеет вид:

$\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x$, поэтому решение неравенства:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $ctg 5x \geq 0$

Общее решение неравенства $ctg(t) \geq 0$ включает точки, где $ctg(t) = 0$ (т.е. $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$), и имеет вид:

$\pi k < t \leq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = 5x$:

$\pi k < 5x \leq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 5:

$\frac{\pi k}{5} < x \leq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi k}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}], k \in \mathbb{Z}$.

в) $ctg \frac{x}{5} < 0$

Функция котангенс, $ctg(t)$, отрицательна, когда ее аргумент $t$ находится во второй или четвертой координатных четвертях. Общее решение неравенства $ctg(t) < 0$ имеет вид:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{5}$:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{5} < \pi + \pi k$

Чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на 5:

$\frac{5\pi}{2} + 5\pi k < x < 5\pi + 5\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{2} + 5\pi k; 5\pi + 5\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $ctg(x - \frac{\pi}{9}) \leq 0$

Общее решение неравенства $ctg(t) \leq 0$ включает точки, где $ctg(t) = 0$, и имеет вид:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{9}$:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq x - \frac{\pi}{9} < \pi + \pi k$

Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{9}$:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} + \pi k \leq x < \pi + \frac{\pi}{9} + \pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{9\pi + 2\pi}{18} + \pi k \leq x < \frac{9\pi + \pi}{9} + \pi k$

$\frac{11\pi}{18} + \pi k \leq x < \frac{10\pi}{9} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{11\pi}{18} + \pi k; \frac{10\pi}{9} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $ctg(\frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5}) \leq 0$

Общее решение неравенства $ctg(t) \leq 0$ имеет вид:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = \frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5}$:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{7x}{5} - \frac{7\pi}{5} < \pi + \pi k$

Прибавим ко всем частям $\frac{7\pi}{5}$:

$\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{5} + \pi k \leq \frac{7x}{5} < \pi + \frac{7\pi}{5} + \pi k$

Упростим левую и правую части:

$\frac{5\pi + 14\pi}{10} + \pi k \leq \frac{7x}{5} < \frac{5\pi + 7\pi}{5} + \pi k$

$\frac{19\pi}{10} + \pi k \leq \frac{7x}{5} < \frac{12\pi}{5} + \pi k$

Умножим все части неравенства на $\frac{5}{7}$, чтобы выразить $x$:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{19\pi}{10} + \frac{5\pi k}{7} \leq x < \frac{5}{7} \cdot \frac{12\pi}{5} + \frac{5\pi k}{7}$

$\frac{19\pi}{14} + \frac{5\pi k}{7} \leq x < \frac{12\pi}{7} + \frac{5\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{19\pi}{14} + \frac{5\pi k}{7}; \frac{12\pi}{7} + \frac{5\pi k}{7}), k \in \mathbb{Z}$.