Номер 2, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1)

$$ \begin{cases} \text{tg } x \le 0, \\ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $$

Для решения данной системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству в отдельности, а затем найти пересечение этих множеств.

1. Решение неравенства $\tg x \le 0$

Функция тангенса является неположительной (отрицательной или равной нулю) во второй и четвертой координатных четвертях.
Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
С учетом этого, решением данного неравенства являются все $x$, принадлежащие промежуткам вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$ для любого целого $k$.

2. Решение неравенства $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала определим, при каких значениях $x$ выполняется равенство $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит при $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На тригонометрической окружности значения косинуса больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют дуге, заключенной строго между точками $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решением этого неравенства являются все $x$, принадлежащие интервалам вида $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$ для любого целого $k$.

3. Нахождение пересечения решений системы

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений:
$\{ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k] \} \cap \{ x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n) \}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим пересечение на одном обороте тригонометрической окружности, например при $k=0, 1$ и $n=0$.
Решение первого неравенства: $(-\frac{\pi}{2}, 0] \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$.
Решение второго неравенства: $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$.
Пересечением этих двух множеств является промежуток $(-\frac{\pi}{6}, 0]$.
Поскольку решения второго неравенства имеют период $2\pi$, общее решение системы также будет повторяться с периодом $2\pi$. Добавив к границам найденного промежутка $2\pi k$, мы получим общее решение.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.