Номер 4, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (1) $ \begin{cases} \text{tg } x \le \frac{1}{\sqrt{3}}, \\ \cos x < -\frac{1}{2}. \end{cases} $

(1)

Решим данную систему тригонометрических неравенств. Для этого найдем решение каждого неравенства по отдельности, а затем найдем пересечение этих решений.

$\begin{cases} \tg x \le \frac{1}{\sqrt{3}}, \\ \cos x < -\frac{1}{2}. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $\tg x \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Решением неравенства вида $\tg x \le a$ является множество интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(a) + \pi n]$, где $n \in Z$. Поскольку $\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$, то общее решение первого неравенства имеет вид:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Теперь решим второе неравенство: $\cos x < -\frac{1}{2}$.

На единичной окружности равенство $\cos x = -\frac{1}{2}$ выполняется в точках $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. Неравенство $\cos x < -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, лежащих строго между этими значениями (во второй и третьей четвертях). С учетом периодичности функции косинуса, общее решение второго неравенства имеет вид:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Далее найдем пересечение полученных множеств решений. Для наглядности изобразим решения на единичной окружности или числовой прямой в пределах одного периода $2\pi$.

Решения первого неравенства на промежутке $[0, 2\pi)$ — это объединение интервалов $[0, \frac{\pi}{6}]$ (при $n=0$) и $(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}]$ (при $n=1$).

Решение второго неравенства на промежутке $[0, 2\pi)$ — это интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$ (при $k=0$).

Ищем пересечение множества $\{[0, \frac{\pi}{6}] \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}]\}$ и интервала $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

Интервал $[0, \frac{\pi}{6}]$ не пересекается с $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$, так как $\frac{\pi}{6} < \frac{2\pi}{3}$.

Пересечением интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}]$ и интервала $(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$ является интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}]$.

Таким образом, мы нашли решение системы на одном периоде. Общее решение системы неравенств получаем, добавляя к границам найденного интервала $2\pi n$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in Z$.