Номер 6, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (1) $ \begin{cases} \sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $

Для решения системы тригонометрических неравенств найдем множество решений для каждого неравенства по отдельности, а затем определим их пересечение. Для наглядности будем использовать единичную тригонометрическую окружность.

1. Решение неравенства $sin(x) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Сначала найдем углы $x$, для которых выполняется равенство $sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Синус - это ордината (y-координата) точки на единичной окружности. Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ синус принимает в точках $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

Неравенству $sin(x) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют все точки на окружности, чья y-координата больше или равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга, которая начинается в точке $-\frac{\pi}{4}$ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $\frac{5\pi}{4}$.

Общее решение этого неравенства имеет вид: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решение неравенства $cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем углы $x$, для которых выполняется равенство $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинус - это абсцисса (x-координата) точки на единичной окружности. Значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ косинус принимает в точках $x = \frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$ (или $x = -\frac{5\pi}{6}$).

Неравенству $cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют все точки на окружности, чья x-координата строго больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, которая начинается в точке $-\frac{5\pi}{6}$ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $\frac{5\pi}{6}$.

Общее решение этого неравенства имеет вид: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений

Теперь найдем пересечение двух полученных множеств решений. Рассмотрим интервалы на одном витке окружности (при $k=0$):

Решение 1: $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$

Решение 2: $x \in (-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$

Пересечение этих двух интервалов - это множество всех $x$, удовлетворяющих обоим условиям. Началом искомого интервала будет наибольшая из левых границ, а концом - наименьшая из правых границ.

Левая граница: $max(-\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\pi}{4}$. Эта точка включается в решение, так как $sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (условие $\ge$ выполнено) и $cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (условие $>$ выполнено).

Правая граница: $min(\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6}$. Эта точка не включается в решение, так как $cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что не удовлетворяет строгому неравенству $cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, решением системы на одном витке является промежуток $[-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6})$.

Добавив периодичность, получаем общее решение системы неравенств.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.