Номер 8, страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (1)

$ \begin{cases} \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $

Для решения данной системы неравенств необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству одновременно.

Система неравенств:$\begin{cases} \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} \\\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности, используя тригонометрическую окружность.

1. Решение неравенства $ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Значения угла $x$, для которых $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, равны $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = \frac{3\pi}{4} $. Неравенству $ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на тригонометрической окружности, которые лежат выше горизонтальной прямой $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это соответствует дуге от $ \frac{\pi}{4} $ до $ \frac{3\pi}{4} $.
Общее решение этого неравенства: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решение неравенства $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Значения угла $x$, для которых $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, равны $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = -\frac{\pi}{6} $. Неравенству $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $ удовлетворяют все точки на тригонометрической окружности, которые лежат правее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге от $ -\frac{\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{6} $.
Общее решение этого неравенства: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений.
Теперь необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим найденным интервалам. Для этого найдем пересечение множеств решений:
$ (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k) \cap (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n) $
Рассмотрим один период, взяв $ k = n = 0 $. Нам нужно найти пересечение интервалов $ (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) $ и $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $.
Сравним границы этих интервалов. Мы знаем, что $ \frac{\pi}{6} = 30^\circ $ и $ \frac{\pi}{4} = 45^\circ $.
Поскольку $ \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} $, правая граница второго интервала $ (\frac{\pi}{6}) $ находится левее, чем левая граница первого интервала $ (\frac{\pi}{4}) $. Это означает, что данные интервалы не пересекаются.

Поскольку интервалы решений не пересекаются, система неравенств не имеет решений.

Альтернативный способ:
Из первого неравенства $ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ следует, что $ \sin x > 0 $, значит, угол $x$ находится в I или II четверти.
Из второго неравенства $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $ следует, что $ \cos x > 0 $, значит, угол $x$ находится в I или IV четверти.
Одновременное выполнение этих условий возможно только если $x$ находится в I четверти, то есть $ x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) $.
В I четверти функция $ \sin x $ возрастает, поэтому из $ \sin x > \sin(\frac{\pi}{4}) $ следует $ x > \frac{\pi}{4} $.
В I четверти функция $ \cos x $ убывает, поэтому из $ \cos x > \cos(\frac{\pi}{6}) $ следует $ x < \frac{\pi}{6} $.
Таким образом, необходимо найти $x$ в I четверти, такое что $ x > \frac{\pi}{4} $ и $ x < \frac{\pi}{6} $.
Так как $ \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{6} $, не существует такого $x$, которое было бы одновременно больше $ \frac{\pi}{4} $ и меньше $ \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Решений нет.