Номер 10, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2)

$ \begin{cases} \text{tg}x \ge \sqrt{3}, \\ \cos x \le \frac{1}{2}. \end{cases} $

Данная задача представляет собой систему двух тригонометрических неравенств. Для ее решения необходимо найти множества решений для каждого неравенства по отдельности, а затем найти их пересечение.

Решение неравенства $tg(x) \ge \sqrt{3}$

Найдем корни уравнения $tg(x) = \sqrt{3}$. Главное значение аргумента, удовлетворяющее этому условию, есть $x = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на всей своей области определения и имеет период $\pi$. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решение неравенства $tg(x) \ge \sqrt{3}$ на одном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ есть промежуток $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$. С учетом периодичности, общее решение этого неравенства:

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение неравенства $cos(x) \le \frac{1}{2}$

Найдем корни уравнения $cos(x) = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ решениями являются $x = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Функция $y = cos(x)$ имеет период $2\pi$. Рассматривая единичную окружность или график функции, видим, что значения косинуса не превышают $\frac{1}{2}$ на дуге (или интервале) между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

Следовательно, решение неравенства на одном периоде есть отрезок $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$. Общее решение, учитывая периодичность:

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение системы

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений. Для наглядности рассмотрим решения на промежутке длиной $2\pi$, например от $0$ до $2\pi$.

1. Решение для $tg(x) \ge \sqrt{3}$ на $[0, 2\pi]$ (соответствует $k=0$ и $k=1$): $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$.

2. Решение для $cos(x) \le \frac{1}{2}$ на $[0, 2\pi]$ (соответствует $n=0$): $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$.

Найдем пересечение этих двух множеств:

$([\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})) \cap [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$

Первый интервал $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ полностью входит в отрезок $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{3}$. Их пересечение равно $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

Второй интервал $[\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$ также полностью входит в отрезок $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$, так как $\frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3}$. Их пересечение равно $[\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$.

Таким образом, решение системы на промежутке $[0, 2\pi]$ — это объединение двух интервалов: $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})$.

Общее решение системы получается путем добавления к границам найденных интервалов слагаемого $2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$, так как период решения системы равен $2\pi$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \frac{\pi}{2} + 2\pi m) \cup [\frac{4\pi}{3} + 2\pi m, \frac{3\pi}{2} + 2\pi m)$, где $m \in \mathbb{Z}$.