Номер 16, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (2) $ \begin{cases} tgx \ge 1, \\ ctgx \ge \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{cases} $

Решим данную систему тригонометрических неравенств:

$ \begin{cases} \text{tg}\,x \ge 1, \\ \text{ctg}\,x \ge \frac{1}{\sqrt{3}} \end{cases} $

1. Преобразование системы неравенств.

Рассмотрим первое неравенство: $ \text{tg}\,x \ge 1 $. Из него следует, что $ \text{tg}\,x $ — положительное число. Это возможно, когда угол $x$ находится в первой или третьей координатной четверти.

Воспользуемся тем, что $ \text{ctg}\,x = \frac{1}{\text{tg}\,x} $. Так как $ \text{tg}\,x > 0 $, то и $ \text{ctg}\,x > 0 $. Второе неравенство $ \text{ctg}\,x \ge \frac{1}{\sqrt{3}} $ также указывает на то, что $ \text{ctg}\,x $ положителен.

Поскольку обе части второго неравенства положительны, мы можем заменить его на эквивалентное неравенство для $ \text{tg}\,x $. Для этого "перевернем" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{1}{\text{ctg}\,x} \le \frac{1}{1/\sqrt{3}} $

$ \text{tg}\,x \le \sqrt{3} $

Таким образом, исходная система неравенств равносильна следующему двойному неравенству:

$ 1 \le \text{tg}\,x \le \sqrt{3} $

2. Решение двойного неравенства.

Решим неравенство $ 1 \le \text{tg}\,x \le \sqrt{3} $. Для этого найдем, при каких значениях $x$ тангенс принимает граничные значения. Будем рассматривать решение на основном периоде тангенса, интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Найдем решение уравнения $ \text{tg}\,x = 1 $. В указанном интервале это $ x = \frac{\pi}{4} $.

Найдем решение уравнения $ \text{tg}\,x = \sqrt{3} $. В указанном интервале это $ x = \frac{\pi}{3} $.

Функция $ y = \text{tg}\,x $ является возрастающей на всем интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, все значения $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $ 1 \le \text{tg}\,x \le \sqrt{3} $, находятся между $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{3} $, включая концы.

Решение на одном периоде: $ \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3} $.

3. Общее решение системы.

Так как период функции тангенс равен $ \pi $, то для получения всех решений необходимо к границам найденного интервала прибавить $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

Общее решение системы имеет вид:

$ \frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ [\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n], n \in \mathbb{Z} $.