Номер 21, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. (1)

$\begin{cases} \operatorname{tg}x \ge 1, \\ \cos x > \frac{1}{2}. \end{cases}$

21. (1)

Для решения данной системы необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. $$ \begin{cases} \tg x \ge 1, \\ \cos x > \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Шаг 1: Решение неравенства $tg x \ge 1$
Сначала решим уравнение $tg x = 1$. Основное решение этого уравнения – $x = \frac{\pi}{4}$.
Функция $y = \tg x$ является возрастающей на каждом из своих интервалов определения и имеет период $\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, неравенству $tg x \ge 1$ удовлетворяют все $x$ из промежутков, начинающихся в $\frac{\pi}{4}$ и заканчивающихся в $\frac{\pi}{2}$.
Общее решение первого неравенства:
$ \frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Шаг 2: Решение неравенства $\cos x > \frac{1}{2}$
Сначала решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Основные решения этого уравнения на промежутке $[-\pi, \pi]$ – это $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.
Функция $y = \cos x$ имеет период $2\pi$. Значения косинуса больше $\frac{1}{2}$ соответствуют углам, которые лежат между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.
Общее решение второго неравенства:
$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Шаг 3: Нахождение пересечения решений
Теперь необходимо найти пересечение двух множеств решений. Изобразим эти решения на тригонометрической окружности.

• Решение $ \frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n $ соответствует дугам $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ в первой четверти и $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ в третьей четверти.
• Решение $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ соответствует дуге $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$, которая проходит через четвертую и первую четверти.