Номер 24, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. (1)

$$ \begin{cases} \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos x \geq -\frac{1}{2}. \end{cases} $$

24. (1)

Для решения данной системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству в отдельности, а затем найти пересечение этих множеств.

Система неравенств:

$\begin{cases} \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos x \ge -\frac{1}{2}. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности неравенству $\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки, ордината (координата $y$) которых меньше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга окружности, начинающаяся в точке, соответствующей углу $\frac{2\pi}{3}$, и идущая по часовой стрелке до точки, соответствующей углу $\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности, решение можно записать в виде одного промежутка: $x \in [\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, что эквивалентно $x \in [-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\cos x \ge -\frac{1}{2}$

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решениями являются $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности неравенству $\cos x \ge -\frac{1}{2}$ соответствуют точки, абсцисса (координата $x$) которых больше или равна $-\frac{1}{2}$. Это дуга окружности, заключенная между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Решением этого неравенства является промежуток: $x \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти пересечение полученных множеств решений:

$\begin{cases} x \in [-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k] \\ x \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k] \end{cases}$

Для нахождения пересечения промежутков найдем наибольшую из нижних границ и наименьшую из верхних границ. Так как периодичность одинакова, рассмотрим промежутки при $k=0$: $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ и $[-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$.

Нижняя граница пересечения: $\max(-\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.

Верхняя граница пересечения: $\min(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, пересечением является промежуток $[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$. Добавив периодичность, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.