Номер 31, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

31. (2)

Для решения системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество решений для каждого неравенства и затем найти пересечение этих множеств.

$\begin{cases}\sin x \ge \frac{1}{2}, \\\tg x \le \sqrt{3}.\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\sin x \ge \frac{1}{2}$

Сначала рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Его решениями на промежутке $[0, 2\pi]$ являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

На тригонометрической окружности неравенству $\sin x \ge \frac{1}{2}$ соответствуют точки, ордината (y) которых больше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ включительно.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение первого неравенства можно записать в виде:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\tg x \le \sqrt{3}$

Рассмотрим уравнение $\tg x = \sqrt{3}$. Главное решение этого уравнения — $x = \frac{\pi}{3}$.

Функция тангенса определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Период функции равен $\pi$. На каждом интервале своей области определения, например $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс является возрастающей функцией.

Следовательно, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ неравенство $\tg x \le \sqrt{3}$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$.

Учитывая периодичность, общее решение второго неравенства имеет вид:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти общее решение системы, то есть пересечение множеств, найденных на шагах 1 и 2. Удобно сделать это на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$.

Решение первого неравенства (при $n=0$): $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Решение второго неравенства (при $k=0$ и $k=1$): $x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}]$.

Найдем пересечение этих множеств:

а) Пересечение $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ и $[0, \frac{\pi}{3}]$ дает промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$.

б) Пересечение $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ и $(\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}]$ дает промежуток $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$. Точка $x=\frac{\pi}{2}$ исключается, так как тангенс в ней не определен.

Объединяя эти два промежутка, получаем решение на одном периоде: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$.

Для получения общего решения добавим ко всем границам найденных интервалов период $2\pi n$, так как решения первого неравенства повторяются с периодом $2\pi$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n] \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.