Номер 32, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

32. (2)

$\begin{cases} \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cot x \le \frac{\sqrt{3}}{3}. \end{cases}$

1. Решим неравенство $cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$
Сначала найдем корни уравнения $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это углы $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$.
Неравенству $cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на дуге единичной окружности, расположенные правее или на вертикальной прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки соответствуют углам от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$ включительно.
Учитывая, что период функции косинус равен $2\pi$, общее решение первого неравенства имеет вид:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2. Решим неравенство $ctg x \le \frac{\sqrt{3}}{3}$
Область определения функции котангенс: $x \ne \pi n$, где $n \in Z$.
Найдем корни уравнения $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Главное решение $x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Функция $y = ctg x$ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $( \pi n, \pi + \pi n )$.
Следовательно, неравенство $ctg x \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ будет выполняться, когда аргумент $x$ будет больше или равен $\frac{\pi}{3}$ в пределах каждого такого интервала.
Так как период котангенса равен $\pi$, общее решение второго неравенства имеет вид:
$\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \pi + \pi n$, где $n \in Z$.

3. Найдем пересечение решений системы.
Нам необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Для наглядности изобразим решения на одной тригонометрической окружности.
Решение первого неравенства ($-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ на основном периоде) – это дуга в первой и четвертой четвертях, включая концы.
Решение второго неравенства (на промежутке от $0$ до $2\pi$) состоит из двух интервалов: $[\frac{\pi}{3}, \pi)$ и $[\frac{4\pi}{3}, 2\pi)$.
Найдем пересечение этих множеств. Удобно представить решение первого неравенства на промежутке $[-\pi, \pi]$ как $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$. Решение второго неравенства на этом же промежутке будет $[-\frac{2\pi}{3}, 0) \cup [\frac{\pi}{3}, \pi)$.
Пересечем $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ с $[-\frac{2\pi}{3}, 0) \cup [\frac{\pi}{3}, \pi)$.
1) Пересечение $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ и $[\frac{\pi}{3}, \pi)$ пустое, так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$.
2) Пересечение $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ и $[-\frac{2\pi}{3}, 0)$ дает интервал $[-\frac{\pi}{4}, 0)$. Конец $x=-\frac{\pi}{4}$ включается, так как он удовлетворяет обоим исходным неравенствам. Конец $x=0$ не включается, так как котангенс в этой точке не определен.
Таким образом, решение системы на одном периоде есть промежуток $[-\frac{\pi}{4}, 0)$.
Общее решение системы получим, добавив период $2\pi$:
$[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, 0 + 2\pi k)$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, 2\pi k)$, где $k \in Z$.