Номер 33, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

33. (2) $ \begin{cases} \text{ctg}x \le \frac{1}{\sqrt{3}}, \\ \text{sin}x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $

Для решения данной системы необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

1. Решим первое неравенство: $ ctgx \le \frac{1}{\sqrt{3}} $

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $ ctgx = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Используя таблицу значений тригонометрических функций или обратные функции, получаем:

$ x = arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Функция $ y = ctgx $ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $ (\pi k, \pi + \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что если $x$ увеличивается, то $ctgx$ уменьшается. Следовательно, неравенство $ ctgx \le \frac{1}{\sqrt{3}} $ будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $ \frac{\pi}{3} $, вплоть до вертикальной асимптоты функции $ y = ctgx $, которая находится в точке $ x = \pi $.

Таким образом, решение первого неравенства с учетом периодичности $ \pi $ имеет вид:

$ \frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. Решим второе неравенство: $ sinx \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $ sinx = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На тригонометрической окружности этому значению синуса соответствуют две точки, расположенные в III и IV квадрантах.

На промежутке $ [0, 2\pi) $ это углы:

$ x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $

$ x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $

Неравенство $ sinx \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для всех углов, ордината которых на тригонометрической окружности меньше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге, заключенной между точками $ \frac{4\pi}{3} $ и $ \frac{5\pi}{3} $ включительно.

С учетом периодичности функции синус ($ 2\pi $), общее решение второго неравенства имеет вид:

$ \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти общие решения для обоих неравенств. Для этого найдем пересечение полученных множеств решений. Удобно сделать это на одном обороте тригонометрической окружности, например, на промежутке $ [0, 2\pi) $.

Решение первого неравенства на $ [0, 2\pi) $ (при $ n=0 $ и $ n=1 $): $ x \in [\frac{\pi}{3}, \pi) \cup [\frac{4\pi}{3}, 2\pi) $.

Решение второго неравенства на $ [0, 2\pi) $ (при $ k=0 $): $ x \in [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $.

Найдем пересечение этих множеств:

$ ([\frac{\pi}{3}, \pi) \cup [\frac{4\pi}{3}, 2\pi)) \cap [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $

Пересечение первого интервала $ [\frac{\pi}{3}, \pi) $ с $ [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $ является пустым множеством.

Пересечение второго интервала $ [\frac{4\pi}{3}, 2\pi) $ с $ [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $ дает нам промежуток $ [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $.

Таким образом, решение системы на промежутке $ [0, 2\pi) $ — это $ x \in [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $.

Общее решение системы получаем, добавляя к концам найденного промежутка период $ 2\pi n $.

Ответ: $ x \in [\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.