Страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

28. (1)

$\begin{cases} \text{tg}x \geq 1, \\ \text{sin}x > \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

Решим первое неравенство системы: $tg(x) \ge 1$

Сначала найдем корни уравнения $tg(x) = 1$. Главное значение $x = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$. В силу периодичности функции тангенс (период равен $\pi$), все решения уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$. Таким образом, неравенство $tg(x) \ge 1$ выполняется на промежутках от $\frac{\pi}{4}$ (включительно, так как неравенство нестрогое) до асимптоты $\frac{\pi}{2}$ (не включительно, так как в этой точке тангенс не определен).Следовательно, решение первого неравенства: $\frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство системы: $sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала найдем корни уравнения $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ этому уравнению удовлетворяют два значения: $x_1 = arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.Неравенство $sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ строгое, поэтому его решениями на единичной окружности будут углы, лежащие строго между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.Учитывая периодичность функции синус (период равен $2\pi$), получаем общее решение второго неравенства: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение решений системы

Теперь необходимо найти общие решения для двух неравенств. Для этого найдем пересечение полученных множеств решений. Период всей системы равен НОК($\pi$, $2\pi$) = $2\pi$. Найдем решение на отрезке $[0, 2\pi)$, а затем обобщим его.

На отрезке $[0, 2\pi)$ решения первого неравенства (при $n=0$ и $n=1$) — это интервалы $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ и $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.

Решение второго неравенства (при $k=0$) — это интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

Ищем пересечение: $([\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})) \cap (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

1. Пересечение $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$. Так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$, их пересечением будет интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

2. Пересечение $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$. Эти интервалы не пересекаются. Интервал $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ находится в третьей координатной четверти, где синус отрицателен, в то время как неравенство $sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ требует положительного значения синуса.

Следовательно, на отрезке $[0, 2\pi)$ решением системы является интервал $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

Добавляя период $2\pi$, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

29. (2)

$\begin{cases} \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

Для решения данной системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству, а затем найти пересечение этих множеств.

Сначала решим первое неравенство: $cos(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдём значения $x$, для которых $cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На тригонометрической окружности косинус — это абсцисса точки. Условию $cos(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют все точки, абсцисса которых больше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключённой между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, решение первого неравенства: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе неравенство: $sin(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдём значения $x$, для которых $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На тригонометрической окружности синус — это ордината точки. Условию $sin(x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют все точки, ордината которых больше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключённой между углами $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, решение второго неравенства: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём пересечение решений. Мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:
1) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
2) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Единственная точка, которая принадлежит обоим отрезкам, — это их общая граница $x = \frac{\pi}{4}$. Для любого целого $k$ эта точка будет общей для обоих множеств решений.
Проверим эту точку: $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (условие $\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется) и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (условие $\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется). Любая другая точка из одного интервала не попадает в другой. Например, для точки чуть больше $\frac{\pi}{4}$ (из второго интервала) косинус будет меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. А для точки чуть меньше $\frac{\pi}{4}$ (из первого интервала) синус будет меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

30. (2)

$ \begin{cases} \cos x \ge \frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \le -\sqrt{3}. \end{cases} $

Решим данную систему тригонометрических неравенств:

$$\begin{cases}\cos x \ge \frac{1}{2} \\\tg x \le -\sqrt{3}\end{cases}$$

Для решения системы найдем множества решений для каждого неравенства по отдельности, а затем найдем их пересечение.

1. Решение первого неравенства $\cos x \ge \frac{1}{2}$

Сначала рассмотрим соответствующее уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Его решениями являются $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, что равносильно $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Используя тригонометрическую окружность, мы видим, что косинус (абсцисса точки на окружности) больше или равен $\frac{1}{2}$ на дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, решением первого неравенства является множество всех $x$, удовлетворяющих условию:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение второго неравенства $\tg x \le -\sqrt{3}$

Рассмотрим уравнение $\tg x = -\sqrt{3}$. Его решениями являются $x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi k$, что равносильно $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Функция тангенс возрастает на каждом из своих интервалов определения $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$. Неравенство $\tg x \le -\sqrt{3}$ выполняется для углов, которые меньше или равны $-\frac{\pi}{3}$ в пределах каждого такого интервала.

Таким образом, решение второго неравенства можно записать в виде:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений

Теперь необходимо найти общие решения для обоих неравенств. Отметим полученные множества на единичной окружности.

Решение первого неравенства, $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right]$, на окружности представляет собой дугу от точки $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ (включая концы), расположенную в первом и четвертом квадрантах.

Решение второго неравенства, $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\pi}{3} + \pi k\right]$, на окружности представляет собой две дуги: $\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}\right]$ (при $k=0$) и $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right]$ (при $k=1$).

Пересечение этих двух множеств на окружности — это общие точки для дуги $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$ и совокупности дуг $\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

Видно, что единственной общей точкой является $x = -\frac{\pi}{3}$. Эта точка принадлежит первому множеству (так как $-\frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3}$) и второму множеству (так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3}$).

Так как решения должны удовлетворять обоим условиям, а периодичность первого множества равна $2\pi$, итоговое решение будет представлять собой набор точек, повторяющихся с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

31. (2)

Для решения системы тригонометрических неравенств необходимо найти множество решений для каждого неравенства и затем найти пересечение этих множеств.

$\begin{cases}\sin x \ge \frac{1}{2}, \\\tg x \le \sqrt{3}.\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\sin x \ge \frac{1}{2}$

Сначала рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Его решениями на промежутке $[0, 2\pi]$ являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

На тригонометрической окружности неравенству $\sin x \ge \frac{1}{2}$ соответствуют точки, ордината (y) которых больше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ включительно.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение первого неравенства можно записать в виде:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\tg x \le \sqrt{3}$

Рассмотрим уравнение $\tg x = \sqrt{3}$. Главное решение этого уравнения — $x = \frac{\pi}{3}$.

Функция тангенса определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Период функции равен $\pi$. На каждом интервале своей области определения, например $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс является возрастающей функцией.

Следовательно, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ неравенство $\tg x \le \sqrt{3}$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$.

Учитывая периодичность, общее решение второго неравенства имеет вид:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти общее решение системы, то есть пересечение множеств, найденных на шагах 1 и 2. Удобно сделать это на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$.

Решение первого неравенства (при $n=0$): $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Решение второго неравенства (при $k=0$ и $k=1$): $x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}]$.

Найдем пересечение этих множеств:

а) Пересечение $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ и $[0, \frac{\pi}{3}]$ дает промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$.

б) Пересечение $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ и $(\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}]$ дает промежуток $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$. Точка $x=\frac{\pi}{2}$ исключается, так как тангенс в ней не определен.

Объединяя эти два промежутка, получаем решение на одном периоде: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$.

Для получения общего решения добавим ко всем границам найденных интервалов период $2\pi n$, так как решения первого неравенства повторяются с периодом $2\pi$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n] \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

32. (2)

$\begin{cases} \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cot x \le \frac{\sqrt{3}}{3}. \end{cases}$

1. Решим неравенство $cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$
Сначала найдем корни уравнения $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это углы $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$.
Неравенству $cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на дуге единичной окружности, расположенные правее или на вертикальной прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки соответствуют углам от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$ включительно.
Учитывая, что период функции косинус равен $2\pi$, общее решение первого неравенства имеет вид:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2. Решим неравенство $ctg x \le \frac{\sqrt{3}}{3}$
Область определения функции котангенс: $x \ne \pi n$, где $n \in Z$.
Найдем корни уравнения $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Главное решение $x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Функция $y = ctg x$ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $( \pi n, \pi + \pi n )$.
Следовательно, неравенство $ctg x \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ будет выполняться, когда аргумент $x$ будет больше или равен $\frac{\pi}{3}$ в пределах каждого такого интервала.
Так как период котангенса равен $\pi$, общее решение второго неравенства имеет вид:
$\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \pi + \pi n$, где $n \in Z$.

3. Найдем пересечение решений системы.
Нам необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Для наглядности изобразим решения на одной тригонометрической окружности.
Решение первого неравенства ($-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ на основном периоде) – это дуга в первой и четвертой четвертях, включая концы.
Решение второго неравенства (на промежутке от $0$ до $2\pi$) состоит из двух интервалов: $[\frac{\pi}{3}, \pi)$ и $[\frac{4\pi}{3}, 2\pi)$.
Найдем пересечение этих множеств. Удобно представить решение первого неравенства на промежутке $[-\pi, \pi]$ как $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$. Решение второго неравенства на этом же промежутке будет $[-\frac{2\pi}{3}, 0) \cup [\frac{\pi}{3}, \pi)$.
Пересечем $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ с $[-\frac{2\pi}{3}, 0) \cup [\frac{\pi}{3}, \pi)$.
1) Пересечение $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ и $[\frac{\pi}{3}, \pi)$ пустое, так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$.
2) Пересечение $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ и $[-\frac{2\pi}{3}, 0)$ дает интервал $[-\frac{\pi}{4}, 0)$. Конец $x=-\frac{\pi}{4}$ включается, так как он удовлетворяет обоим исходным неравенствам. Конец $x=0$ не включается, так как котангенс в этой точке не определен.
Таким образом, решение системы на одном периоде есть промежуток $[-\frac{\pi}{4}, 0)$.
Общее решение системы получим, добавив период $2\pi$:
$[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, 0 + 2\pi k)$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, 2\pi k)$, где $k \in Z$.

33. (2) $ \begin{cases} \text{ctg}x \le \frac{1}{\sqrt{3}}, \\ \text{sin}x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $

Для решения данной системы необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

1. Решим первое неравенство: $ ctgx \le \frac{1}{\sqrt{3}} $

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $ ctgx = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Используя таблицу значений тригонометрических функций или обратные функции, получаем:

$ x = arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Функция $ y = ctgx $ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $ (\pi k, \pi + \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что если $x$ увеличивается, то $ctgx$ уменьшается. Следовательно, неравенство $ ctgx \le \frac{1}{\sqrt{3}} $ будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $ \frac{\pi}{3} $, вплоть до вертикальной асимптоты функции $ y = ctgx $, которая находится в точке $ x = \pi $.

Таким образом, решение первого неравенства с учетом периодичности $ \pi $ имеет вид:

$ \frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. Решим второе неравенство: $ sinx \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $ sinx = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На тригонометрической окружности этому значению синуса соответствуют две точки, расположенные в III и IV квадрантах.

На промежутке $ [0, 2\pi) $ это углы:

$ x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $

$ x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $

Неравенство $ sinx \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для всех углов, ордината которых на тригонометрической окружности меньше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге, заключенной между точками $ \frac{4\pi}{3} $ и $ \frac{5\pi}{3} $ включительно.

С учетом периодичности функции синус ($ 2\pi $), общее решение второго неравенства имеет вид:

$ \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти общие решения для обоих неравенств. Для этого найдем пересечение полученных множеств решений. Удобно сделать это на одном обороте тригонометрической окружности, например, на промежутке $ [0, 2\pi) $.

Решение первого неравенства на $ [0, 2\pi) $ (при $ n=0 $ и $ n=1 $): $ x \in [\frac{\pi}{3}, \pi) \cup [\frac{4\pi}{3}, 2\pi) $.

Решение второго неравенства на $ [0, 2\pi) $ (при $ k=0 $): $ x \in [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $.

Найдем пересечение этих множеств:

$ ([\frac{\pi}{3}, \pi) \cup [\frac{4\pi}{3}, 2\pi)) \cap [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $

Пересечение первого интервала $ [\frac{\pi}{3}, \pi) $ с $ [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $ является пустым множеством.

Пересечение второго интервала $ [\frac{4\pi}{3}, 2\pi) $ с $ [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $ дает нам промежуток $ [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $.

Таким образом, решение системы на промежутке $ [0, 2\pi) $ — это $ x \in [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $.

Общее решение системы получаем, добавляя к концам найденного промежутка период $ 2\pi n $.

Ответ: $ x \in [\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

34. (2) $\begin{cases} \operatorname{tg} x \ge 1, \\ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств $\begin{cases} \tg x \ge 1 \\ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\tg x \ge 1$.

Сначала найдем значения $x$, для которых $\tg x = 1$. Главное решение этого уравнения — $x = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Поскольку функция тангенса имеет период $\pi$, все решения уравнения $\tg x = 1$ задаются формулой $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = \tg x$ является возрастающей на каждом из своих интервалов определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$. Вертикальные асимптоты графика находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, условие $\tg x \ge 1$ выполняется для $x$, находящихся в промежутке от точки, где $\tg x = 1$, до ближайшей правой асимптоты. Это дает нам решение: $\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Итак, решение первого неравенства: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе неравенство: $\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем значения $x$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Нам нужны точки, у которых абсцисса меньше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной левее вертикальной прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга начинается от угла $\frac{\pi}{6}$ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в угле $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение множеств решений.

Для нахождения общего решения системы нам нужно найти пересечение полученных множеств. Рассмотрим решения на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi)$.

Решение первого неравенства на $[0, 2\pi)$ (при $k=0$ и $k=1$): $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.

Решение второго неравенства на $[0, 2\pi)$ (при $n=0$): $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

Теперь найдем пересечение этих множеств. Проверим, принадлежат ли интервалы из решения первого неравенства множеству решений второго.

Для интервала $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$: все значения $x$ из этого интервала находятся в первой четверти. Значение $\cos x$ убывает на этом интервале от $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, то для любого $x$ из этого интервала выполняется $\cos x \le \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, весь интервал $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ является решением системы.

Для интервала $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$: все значения $x$ из этого интервала находятся в третьей четверти. Для любого такого $x$ значение $\cos x$ отрицательно. Любое отрицательное число меньше положительного числа $\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $\cos x < 0 \le \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, весь интервал $[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$ также является решением системы.

Таким образом, множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства. Это означает, что их пересечение совпадает с множеством решений первого неравенства.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

35. (2) ${ \begin{cases} \operatorname{tg}x \leq 1, \\ \operatorname{ctg}x \geq 1. \end{cases} }$

(2) Рассмотрим данную систему неравенств. Из второго неравенства $ \ctg x \ge 1 $ следует, что $ \ctg x $ является положительным числом. Поскольку $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $, то и $ \tg x $ должен быть положительным, то есть $ \tg x > 0 $.

Теперь, когда мы знаем, что $ \tg x > 0 $, мы можем переписать второе неравенство $ \ctg x \ge 1 $ в виде $ \frac{1}{\tg x} \ge 1 $. Умножив обе части на положительное число $ \tg x $, получим равносильное неравенство $ 1 \ge \tg x $, или $ \tg x \le 1 $.

Таким образом, исходная система равносильна системе из двух условий: $ \tg x > 0 $ и $ \tg x \le 1 $. Это можно объединить в одно двойное неравенство: $ 0 < \tg x \le 1 $.

Для решения этого неравенства найдем значения $ x $, при которых тангенс принимает граничные значения. Уравнение $ \tg x = 0 $ имеет решения $ x = \pi k $, а уравнение $ \tg x = 1 $ имеет решения $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in Z $. Так как функция $ y = \tg x $ является строго возрастающей на каждом интервале своей области определения (например, на $ (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) $), решение неравенства $ 0 < \tg x \le 1 $ будет находиться между соответствующими значениями $ x $.

Следовательно, для каждого целого числа $ k $ решением является промежуток $ \pi k < x \le \frac{\pi}{4} + \pi k $.

Ответ: $ \pi k < x \le \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $.

36. (2).

$$ \begin{cases} \operatorname{tg}x \ge 1, \\ \operatorname{ctg}x \ge 1. \end{cases} $$

36. (2)

Дана система тригонометрических неравенств:

$ \begin{cases} \tg x \ge 1, \\ \ctg x \ge 1. \end{cases} $

Рассмотрим оба неравенства. Из первого неравенства $\tg x \ge 1$ следует, что $\tg x$ должен быть положительным. Из второго неравенства $\ctg x \ge 1$ следует, что $\ctg x$ также должен быть положительным. Это означает, что угол $x$ должен находиться в I или III координатной четверти, где значения тангенса и котангенса положительны.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$. Так как мы установили, что $\tg x > 0$ (поскольку $\tg x \ge 1$), мы можем подставить это выражение во второе неравенство:

$\frac{1}{\tg x} \ge 1$.

Поскольку $\tg x$ — положительное число, мы можем умножить обе части этого неравенства на $\tg x$, не меняя знака неравенства:

$1 \ge \tg x$, что эквивалентно $\tg x \le 1$.

Теперь исходная система неравенств может быть заменена эквивалентной системой:

$ \begin{cases} \tg x \ge 1, \\ \tg x \le 1. \end{cases} $

Единственное число, которое одновременно не меньше единицы и не больше единицы, — это сама единица. Таким образом, система двух неравенств сводится к одному уравнению:

$\tg x = 1$.

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для данного уравнения имеет вид:

$x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, получаем окончательное решение системы.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найдите область определения функции (37-38):

37. (2) а) $y=\sqrt{4\cos x - 2\sqrt{8\sin x+4}}$

б) $y = \frac{1+\text{ctg}x}{\sqrt{3\text{tg}x-\sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{5\sin x+10}}$

a) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{4\cos x - 2\sqrt{3}} - \sqrt{8\sin x + 4}$ необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 4\cos x - 2\sqrt{3} \ge 0 \\ 8\sin x + 4 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $4\cos x - 2\sqrt{3} \ge 0$

$4\cos x \ge 2\sqrt{3}$

$\cos x \ge \frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением этого неравенства является множество значений $x$, удовлетворяющих условию:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $8\sin x + 4 \ge 0$

$8\sin x \ge -4$

$\sin x \ge -\frac{4}{8}$

$\sin x \ge -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства является множество значений $x$, удовлетворяющих условию:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо найти пересечение решений двух неравенств. Нанеся оба решения на тригонометрическую окружность или числовую прямую, находим их общую часть:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1+\text{ctg}\:x}{\sqrt{3\text{tg}\:x - \sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{5\sin x + 10}}$ необходимо выполнение следующих условий:

1. Функции $\text{tg}\:x$ и $\text{ctg}\:x$ должны быть определены. Это означает, что $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.

2. Выражения, стоящие под знаком корня в знаменателях, должны быть строго положительными, так как деление на ноль недопустимо и корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

Таким образом, получаем систему условий:

$ \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ 3\text{tg}\:x - \sqrt{3} > 0 \\ 5\sin x + 10 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим каждое неравенство.

1) $5\sin x + 10 > 0$

$5\sin x > -10$

$\sin x > -2$

Это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$, так как область значений функции синус $[-1, 1]$, и любое значение из этого промежутка больше -2. Таким образом, это условие не накладывает ограничений на область определения.

2) $3\text{tg}\:x - \sqrt{3} > 0$

$3\text{tg}\:x > \sqrt{3}$

$\text{tg}\:x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решением этого тригонометрического неравенства являются интервалы:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяет ли это решение остальным условиям системы. В полученных интервалах $\cos x \neq 0$, так как правая граница $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не включается. Также в этих интервалах $\sin x \neq 0$, так как точки, где синус равен нулю ($x = \pi n$), не попадают в данные интервалы. Следовательно, найденное решение является итоговой областью определения функции.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

38. (3) а) $y=\frac{1}{2\cos x+3}+\sqrt{2\sin x+\sqrt{3}}$;

б) $y=\frac{1}{2\text{ctg }x+3}+\sqrt{2\sin x-\sqrt{2}}$.

а) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{2\cos x + 3} + \sqrt{2\sin x + \sqrt{3}}$ необходимо, чтобы выполнялись следующие условия (ОДЗ):

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2\cos x + 3 \neq 0$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2\sin x + \sqrt{3} \ge 0$.

Рассмотрим первое условие. Область значений функции косинуса $E(\cos x) = [-1; 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Умножив все части неравенства на 2, получим $-2 \le 2\cos x \le 2$. Прибавив 3 ко всем частям, получим $1 \le 2\cos x + 3 \le 5$. Так как знаменатель $2\cos x + 3$ всегда принимает значения в отрезке $[1; 5]$, он никогда не обращается в нуль. Следовательно, первое условие выполняется для всех действительных чисел $x$.

Рассмотрим второе условие. Решим неравенство $2\sin x + \sqrt{3} \ge 0$:

$2\sin x \ge -\sqrt{3}$

$\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя единичную тригонометрическую окружность, находим, что это неравенство выполняется для $x$, принадлежащих промежуткам вида:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку первое условие не накладывает никаких ограничений на $x$, область определения исходной функции совпадает с множеством решений второго неравенства.

Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

б) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{2\text{ctg} x + 3} + \sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$ необходимо, чтобы выполнялись следующие условия (ОДЗ):

1. Должен существовать котангенс, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2\text{ctg} x + 3 \neq 0$. Это означает $\text{ctg} x \neq -\frac{3}{2}$, или $x \neq \text{arcctg}(-\frac{3}{2}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

3. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2\sin x - \sqrt{2} \ge 0$.

Начнем с решения третьего, самого сильного, неравенства:

$2\sin x \ge \sqrt{2}$

$\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства являются промежутки:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим, выполняются ли на этих промежутках первые два условия.

1. На промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, то и $\sin x > 0$, следовательно, условие $\sin x \neq 0$ выполняется автоматически.

2. Проверим условие $\text{ctg} x \neq -\frac{3}{2}$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ (рассмотрим случай $n=0$) функция $\text{ctg} x$ монотонно убывает. Ее значения на концах отрезка равны $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Таким образом, на этом отрезке множество значений функции $\text{ctg} x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Поскольку значение $-\frac{3}{2} = -1.5$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, равенство $\text{ctg} x = -\frac{3}{2}$ на данных промежутках невозможно. Следовательно, второе условие также выполняется.

Таким образом, область определения исходной функции полностью определяется решением третьего неравенства.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

39. (2) Упростите:

$(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}} + \frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}})^2 \cdot \frac{x^2-1}{2} + 1.$

Для упрощения данного выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
$1+x \ge 0 \implies x \ge -1$
Следовательно, $x \in [-1, 1]$.

2. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$1-x+\sqrt{1-x} = (\sqrt{1-x})^2+\sqrt{1-x} = \sqrt{1-x}(1+\sqrt{1-x})$. Этот знаменатель равен нулю, если $\sqrt{1-x}=0$, так как $1+\sqrt{1-x}>0$. Значит, $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.
$1+x-\sqrt{1+x} = (\sqrt{1+x})^2-\sqrt{1+x} = \sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}-1)$. Этот знаменатель равен нулю, если $\sqrt{1+x}=0$ или $\sqrt{1+x}=1$.
$\sqrt{1+x} \neq 0 \implies 1+x \neq 0 \implies x \neq -1$.
$\sqrt{1+x} \neq 1 \implies 1+x \neq 1 \implies x \neq 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Теперь приступим к упрощению выражения по действиям.

Действие 1. Упростим дроби в скобках.
Первая дробь: $\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}} = \frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}(1+\sqrt{1-x})} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.
Вторая дробь: $\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}} = \frac{1-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}-1)} = \frac{-(\sqrt{1+x}-1)}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}-1)} = -\frac{1}{\sqrt{1+x}}$.

Действие 2. Выполним действия в скобках.
$\frac{1}{\sqrt{1-x}} + (-\frac{1}{\sqrt{1+x}}) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} - \frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}}$.

Действие 3. Возведем результат в квадрат.
$\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(\sqrt{1-x^2})^2} = \frac{(1+x) - 2\sqrt{(1+x)(1-x)} + (1-x)}{1-x^2} = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} = \frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{1-x^2}$.

Действие 4. Выполним умножение и сложение.
$\frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{1-x^2} \cdot \frac{x^2-1}{2} + 1$.
Заменим $\frac{x^2-1}{2}$ на $\frac{-(1-x^2)}{2}$:
$\frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{1-x^2} \cdot \frac{-(1-x^2)}{2} + 1$.
Сократим $2$ и $(1-x^2)$ (это возможно, так как в ОДЗ $x \neq \pm 1$):
$-(1-\sqrt{1-x^2}) + 1 = -1 + \sqrt{1-x^2} + 1 = \sqrt{1-x^2}$.

Ответ: $\sqrt{1-x^2}$

40. (3) За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 2000 тенге. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 1820 тенге. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная цена 1 кг первого продукта в тенге, а $y$ — первоначальная цена 1 кг второго продукта в тенге.

Исходя из первого условия, что за 3 кг одного продукта и 10 кг другого заплачено 2000 тенге, составим первое уравнение:

$3x + 10y = 2000$

Далее, учтем сезонное изменение цен. Цена первого продукта подорожала на 15%, то есть новая цена составляет $x + 0.15x = 1.15x$. Цена второго продукта подешевела на 25%, значит, его новая цена равна $y - 0.25y = 0.75y$.

За такое же количество этих продуктов по новым ценам заплатили 1820 тенге. Составим второе уравнение:

$3 \cdot (1.15x) + 10 \cdot (0.75y) = 1820$

$3.45x + 7.5y = 1820$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3x + 10y = 2000 \\ 3.45x + 7.5y = 1820 \end{cases}$

Для решения системы избавимся от десятичных дробей во втором уравнении, умножив его на 100, а также для удобства последующих вычислений умножим первое уравнение на 75, а второе на 10:

$\begin{cases} 75 \cdot (3x + 10y) = 75 \cdot 2000 \\ 10 \cdot (3.45x + 7.5y) = 10 \cdot 1820 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 225x + 750y = 150000 \\ 34.5x + 75y = 18200 \end{cases}$

Теперь умножим второе уравнение системы на 10, чтобы коэффициенты при $y$ совпали:

$10 \cdot (34.5x + 75y) = 10 \cdot 18200$

$345x + 750y = 182000$

Вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы ($225x + 750y = 150000$):

$(345x + 750y) - (225x + 750y) = 182000 - 150000$

$120x = 32000$

$x = \frac{32000}{120} = \frac{3200}{12} = \frac{800}{3}$

Итак, цена первого продукта $x = 266 \frac{2}{3}$ тенге.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое исходное уравнение:

$3 \cdot (\frac{800}{3}) + 10y = 2000$

$800 + 10y = 2000$

$10y = 2000 - 800$

$10y = 1200$

$y = 120$

Таким образом, цена второго продукта $y = 120$ тенге.

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение $3.45x + 7.5y = 1820$:

$3.45 \cdot (\frac{800}{3}) + 7.5 \cdot 120 = 1.15 \cdot 800 + 900 = 920 + 900 = 1820$

$1820 = 1820$

Равенство верное, следовательно, задача решена правильно.

Ответ: первоначальная цена 1 кг первого продукта составляла $266 \frac{2}{3}$ тенге, а 1 кг второго продукта — 120 тенге.

Упростите: $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \sin \alpha}{2 \cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

41. (2)

Для того чтобы упростить заданное тригонометрическое выражение, мы последовательно преобразуем его числитель и знаменатель, используя основные тригонометрические тождества.

Исходное выражение:

$ \frac{\tg\alpha + \sin\alpha}{2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} $

Сначала преобразуем числитель дроби. Заменим $ \tg\alpha $ на отношение $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и вынесем $ \sin\alpha $ за скобки как общий множитель:

$ \tg\alpha + \sin\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sin\alpha = \sin\alpha \left( \frac{1}{\cos\alpha} + 1 \right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \sin\alpha \left( \frac{1 + \cos\alpha}{\cos\alpha} \right) = \frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha} $

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу понижения степени для косинуса (или формулу косинуса двойного угла):

$ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) $

Таким образом, знаменатель исходного выражения $ 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) $ равен $ 1 + \cos\alpha $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$ \frac{\frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha}}{1 + \cos\alpha} $

Мы можем сократить дробь на $ (1 + \cos\alpha) $, так как из области определения исходного выражения следует, что $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0 $, а значит и $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0 $.

$ \frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha (1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

Полученное отношение синуса к косинусу по определению является тангенсом:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha $

Ответ: $ \tg\alpha $

42. (2)

Решите систему уравнений: $\begin{cases} x+y^3=2, \\ 2x+x^2+5y^3=8. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Исходная система:

$\begin{cases}x + y^3 = 2 \\2x + x^2 + 5y^3 = 8\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y^3$ через $x$:

$y^3 = 2 - x$

Теперь подставим это выражение для $y^3$ во второе уравнение системы:

$2x + x^2 + 5(2 - x) = 8$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x + x^2 + 10 - 5x = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x + 10 = 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + 10 - 8 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Отсюда легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя выражение $y^3 = 2 - x$.

1. При $x = 1$:

$y^3 = 2 - 1 = 1$

Отсюда $y = \sqrt[3]{1} = 1$.

Таким образом, первая пара решений: $(1; 1)$.

2. При $x = 2$:

$y^3 = 2 - 2 = 0$

Отсюда $y = \sqrt[3]{0} = 0$.

Таким образом, вторая пара решений: $(2; 0)$.

Выполним проверку найденных решений, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары $(1; 1)$:

Первое уравнение: $1 + 1^3 = 1 + 1 = 2$. Верно ($2=2$).

Второе уравнение: $2(1) + 1^2 + 5(1^3) = 2 + 1 + 5 = 8$. Верно ($8=8$).

Для пары $(2; 0)$:

Первое уравнение: $2 + 0^3 = 2$. Верно ($2=2$).

Второе уравнение: $2(2) + 2^2 + 5(0^3) = 4 + 4 + 0 = 8$. Верно ($8=8$).

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(1; 1)$, $(2; 0)$.