Номер 38, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

38. (3) а) $y=\frac{1}{2\cos x+3}+\sqrt{2\sin x+\sqrt{3}}$;

б) $y=\frac{1}{2\text{ctg }x+3}+\sqrt{2\sin x-\sqrt{2}}$.

а) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{2\cos x + 3} + \sqrt{2\sin x + \sqrt{3}}$ необходимо, чтобы выполнялись следующие условия (ОДЗ):

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2\cos x + 3 \neq 0$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2\sin x + \sqrt{3} \ge 0$.

Рассмотрим первое условие. Область значений функции косинуса $E(\cos x) = [-1; 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Умножив все части неравенства на 2, получим $-2 \le 2\cos x \le 2$. Прибавив 3 ко всем частям, получим $1 \le 2\cos x + 3 \le 5$. Так как знаменатель $2\cos x + 3$ всегда принимает значения в отрезке $[1; 5]$, он никогда не обращается в нуль. Следовательно, первое условие выполняется для всех действительных чисел $x$.

Рассмотрим второе условие. Решим неравенство $2\sin x + \sqrt{3} \ge 0$:

$2\sin x \ge -\sqrt{3}$

$\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя единичную тригонометрическую окружность, находим, что это неравенство выполняется для $x$, принадлежащих промежуткам вида:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку первое условие не накладывает никаких ограничений на $x$, область определения исходной функции совпадает с множеством решений второго неравенства.

Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

б) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{2\text{ctg} x + 3} + \sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$ необходимо, чтобы выполнялись следующие условия (ОДЗ):

1. Должен существовать котангенс, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2\text{ctg} x + 3 \neq 0$. Это означает $\text{ctg} x \neq -\frac{3}{2}$, или $x \neq \text{arcctg}(-\frac{3}{2}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

3. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2\sin x - \sqrt{2} \ge 0$.

Начнем с решения третьего, самого сильного, неравенства:

$2\sin x \ge \sqrt{2}$

$\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства являются промежутки:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим, выполняются ли на этих промежутках первые два условия.

1. На промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, то и $\sin x > 0$, следовательно, условие $\sin x \neq 0$ выполняется автоматически.

2. Проверим условие $\text{ctg} x \neq -\frac{3}{2}$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ (рассмотрим случай $n=0$) функция $\text{ctg} x$ монотонно убывает. Ее значения на концах отрезка равны $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Таким образом, на этом отрезке множество значений функции $\text{ctg} x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Поскольку значение $-\frac{3}{2} = -1.5$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, равенство $\text{ctg} x = -\frac{3}{2}$ на данных промежутках невозможно. Следовательно, второе условие также выполняется.

Таким образом, область определения исходной функции полностью определяется решением третьего неравенства.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.