Номер 40, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

40. (3) За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 2000 тенге. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 1820 тенге. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная цена 1 кг первого продукта в тенге, а $y$ — первоначальная цена 1 кг второго продукта в тенге.

Исходя из первого условия, что за 3 кг одного продукта и 10 кг другого заплачено 2000 тенге, составим первое уравнение:

$3x + 10y = 2000$

Далее, учтем сезонное изменение цен. Цена первого продукта подорожала на 15%, то есть новая цена составляет $x + 0.15x = 1.15x$. Цена второго продукта подешевела на 25%, значит, его новая цена равна $y - 0.25y = 0.75y$.

За такое же количество этих продуктов по новым ценам заплатили 1820 тенге. Составим второе уравнение:

$3 \cdot (1.15x) + 10 \cdot (0.75y) = 1820$

$3.45x + 7.5y = 1820$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3x + 10y = 2000 \\ 3.45x + 7.5y = 1820 \end{cases}$

Для решения системы избавимся от десятичных дробей во втором уравнении, умножив его на 100, а также для удобства последующих вычислений умножим первое уравнение на 75, а второе на 10:

$\begin{cases} 75 \cdot (3x + 10y) = 75 \cdot 2000 \\ 10 \cdot (3.45x + 7.5y) = 10 \cdot 1820 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 225x + 750y = 150000 \\ 34.5x + 75y = 18200 \end{cases}$

Теперь умножим второе уравнение системы на 10, чтобы коэффициенты при $y$ совпали:

$10 \cdot (34.5x + 75y) = 10 \cdot 18200$

$345x + 750y = 182000$

Вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы ($225x + 750y = 150000$):

$(345x + 750y) - (225x + 750y) = 182000 - 150000$

$120x = 32000$

$x = \frac{32000}{120} = \frac{3200}{12} = \frac{800}{3}$

Итак, цена первого продукта $x = 266 \frac{2}{3}$ тенге.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое исходное уравнение:

$3 \cdot (\frac{800}{3}) + 10y = 2000$

$800 + 10y = 2000$

$10y = 2000 - 800$

$10y = 1200$

$y = 120$

Таким образом, цена второго продукта $y = 120$ тенге.

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение $3.45x + 7.5y = 1820$:

$3.45 \cdot (\frac{800}{3}) + 7.5 \cdot 120 = 1.15 \cdot 800 + 900 = 920 + 900 = 1820$

$1820 = 1820$

Равенство верное, следовательно, задача решена правильно.

Ответ: первоначальная цена 1 кг первого продукта составляла $266 \frac{2}{3}$ тенге, а 1 кг второго продукта — 120 тенге.