Номер 4, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Пусть испытание состоит в однократном подбрасывании игрального кубика. Определим следующие события:

- событие $A$ – «выпало число 3 или 5»;

- событие $B$ – «выпало четное число»;

- событие $C$ – «выпало нечетное число».

Ответьте на следующие вопросы:

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

г) определите событие, противоположное событию $A$;

д) определите сумму и произведение событий $A$ и $B$;

е) определите сумму и произведение событий $A$ и $C$;

ж) определите сумму и произведение событий $B$ и $C$.

Для решения задачи сначала определим пространство элементарных исходов и множества, соответствующие каждому событию.

Пространство элементарных исходов при однократном подбрасывании игрального кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие $A$ – «выпало число 3 или 5». Этому событию соответствует множество исходов $A = \{3, 5\}$.

Событие $B$ – «выпало четное число». Этому событию соответствует множество исходов $B = \{2, 4, 6\}$.

Событие $C$ – «выпало нечетное число». Этому событию соответствует множество исходов $C = \{1, 3, 5\}$.

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

Два события называются совместными, если они могут произойти одновременно, то есть пересечение множеств их исходов не является пустым ($X \cap Y \neq \emptyset$).

Проверим пары:

• Пара $(A, B)$: $A \cap B = \{3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \emptyset$. События не могут произойти одновременно, они несовместны.

• Пара $(A, C)$: $A \cap C = \{3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$. Пересечение не пусто. События могут произойти одновременно (если выпадет 3 или 5). Следовательно, они совместны.

• Пара $(B, C)$: $B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$. События не могут произойти одновременно, они несовместны.

Ответ: совместной является пара событий $(A, C)$.

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть их пересечение является пустым множеством ($X \cap Y = \emptyset$). Из анализа в предыдущем пункте:

• Пара $(A, B)$: $A \cap B = \emptyset$. Являются несовместными.

• Пара $(B, C)$: $B \cap C = \emptyset$. Являются несовместными.

Ответ: несовместными являются пары событий $(A, B)$ и $(B, C)$.

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

Два события являются противоположными, если они несовместны и их объединение составляет все пространство элементарных исходов ($X \cup Y = \Omega$).

• Пара $(A, B)$: несовместны, но их объединение $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\} \neq \Omega$, так как не содержит исход '1'. Не являются противоположными.

• Пара $(B, C)$: несовместны, и их объединение $B \cup C = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$. Являются противоположными.

Ответ: противоположной является пара событий $(B, C)$.

г) определите событие, противоположное событию А;

Событие, противоположное событию $A$ (обозначается $\bar{A}$), состоит из всех элементарных исходов, которые не благоприятствуют событию $A$.

$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{3, 5\} = \{1, 2, 4, 6\}$.

Словесное описание этого события: «выпало число 1, 2, 4 или 6».

Ответ: событие, противоположное событию $A$ (событие $\bar{A}$), состоит в том, что «выпало число 1, 2, 4 или 6».

д) определите сумму и произведение событий А и В;

Сумма событий ($A + B$ или $A \cup B$) – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$.

$A \cup B = \{3, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$.

Произведение событий ($A \cdot B$ или $A \cap B$) – это событие, состоящее в совместном наступлении событий $A$ и $B$.

$A \cap B = \{3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \emptyset$ (невозможное событие).

Ответ: Сумма $A+B$ – это событие «выпало число 2, 3, 4, 5 или 6». Произведение $A \cdot B$ – невозможное событие.

е) определите сумму и произведение событий А и С;

Сумма: $A+C = A \cup C = \{3, 5\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 5\}$. Это событие совпадает с событием $C$.

Произведение: $A \cdot C = A \cap C = \{3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$. Это событие совпадает с событием $A$.

Ответ: Сумма $A+C$ – это событие «выпало нечетное число» (событие $C$). Произведение $A \cdot C$ – это событие «выпало число 3 или 5» (событие $A$).

ж) определите сумму и произведение событий В и С.

Сумма: $B+C = B \cup C = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$. Это достоверное событие (то есть, произойдет в любом случае).

Произведение: $B \cdot C = B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$. Это невозможное событие.

Ответ: Сумма $B+C$ – это достоверное событие. Произведение $B \cdot C$ – невозможное событие.