Страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

3. Пусть испытание состоит в одновременном подбрасывании двух различных монет. Будем записывать «0» каждый раз, когда выпадает «орел», и записывать «1», если выпадает «решка». Определим событие $A$: «на обеих монетах выпал «орел»», событие $B$: «только на первой монете выпал «орел»», $C$: «на первой монете выпал «орел»».

а) Запишите последовательности из нулей и единиц, которые соответствуют элементарным исходам событий $A$, $B$ и $C$.

б) Определите еще два события так, чтобы вместе с событиями $A$ и $B$ все четыре образовали полную группу событий.

а) Введем обозначения для элементарных исходов испытания в виде последовательности (результат на первой монете, результат на второй монете). Учитывая, что «орел» кодируется как 0, а «решка» — как 1, все возможные исходы (пространство элементарных исходов) выглядят так: $Ω = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$.
Рассмотрим каждое событие:
- Событие A: «на обеих монетах выпал орел». Это означает, что на первой монете выпал «орел» (0) и на второй монете тоже выпал «орел» (0). Этому событию соответствует одна последовательность: (0, 0).
- Событие B: «только на первой монете выпал орел». Это означает, что на первой монете выпал «орел» (0), а на второй монете, следовательно, выпала «решка» (1). Этому событию соответствует одна последовательность: (0, 1).
- Событие C: «на первой монете выпал орел». Это событие произойдет, если на первой монете выпал «орел» (0), а результат на второй монете не имеет значения. Оно может быть как «орлом» (0), так и «решкой» (1). Следовательно, это составное событие, которому благоприятствуют два элементарных исхода. Ему соответствуют две последовательности: (0, 0) и (0, 1).
Ответ: Событию А соответствует последовательность (0, 0). Событию B соответствует последовательность (0, 1). Событию С соответствуют последовательности (0, 0) и (0, 1).

б) Полная группа событий — это набор событий, которые являются попарно несовместными (никакие два из них не могут произойти одновременно) и в своей совокупности исчерпывают все возможные исходы испытания (т.е. их объединение равно пространству элементарных исходов $Ω$).
Пространство всех элементарных исходов состоит из четырех последовательностей: $Ω = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$.
Событие А — это исход (0, 0).
Событие B — это исход (0, 1).
События A и B попарно несовместны, так как состоят из разных элементарных исходов. Чтобы вместе с ними составить полную группу из четырех событий, нужно определить еще два события, которые будут соответствовать оставшимся исходам (1, 0) и (1, 1) и будут несовместны как с A и B, так и друг с другом.
Самый простой способ — это определить два новых события, каждое из которых соответствует одному из оставшихся элементарных исходов.
- Определим событие D, соответствующее исходу (1, 0). В этом исходе на первой монете выпадает «решка» (1), а на второй — «орел» (0). Словесно это событие можно описать как «только на второй монете выпал орел».
- Определим событие E, соответствующее исходу (1, 1). В этом исходе на обеих монетах выпадает «решка» (1). Словесно это событие можно описать как «на обеих монетах выпала решка».
Таким образом, четыре события A, B, D и E соответствуют четырем элементарным исходам $ (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) $ соответственно. Они попарно несовместны, и их объединение составляет все пространство элементарных исходов $Ω$, значит, они образуют полную группу событий.
Ответ: Можно определить следующие два события: D: «только на второй монете выпал орел» (соответствует последовательности (1, 0)) и E: «на обеих монетах выпала решка» (соответствует последовательности (1, 1)).

4. Пусть испытание состоит в однократном подбрасывании игрального кубика. Определим следующие события:

- событие $A$ – «выпало число 3 или 5»;

- событие $B$ – «выпало четное число»;

- событие $C$ – «выпало нечетное число».

Ответьте на следующие вопросы:

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

г) определите событие, противоположное событию $A$;

д) определите сумму и произведение событий $A$ и $B$;

е) определите сумму и произведение событий $A$ и $C$;

ж) определите сумму и произведение событий $B$ и $C$.

Для решения задачи сначала определим пространство элементарных исходов и множества, соответствующие каждому событию.

Пространство элементарных исходов при однократном подбрасывании игрального кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие $A$ – «выпало число 3 или 5». Этому событию соответствует множество исходов $A = \{3, 5\}$.

Событие $B$ – «выпало четное число». Этому событию соответствует множество исходов $B = \{2, 4, 6\}$.

Событие $C$ – «выпало нечетное число». Этому событию соответствует множество исходов $C = \{1, 3, 5\}$.

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

Два события называются совместными, если они могут произойти одновременно, то есть пересечение множеств их исходов не является пустым ($X \cap Y \neq \emptyset$).

Проверим пары:

• Пара $(A, B)$: $A \cap B = \{3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \emptyset$. События не могут произойти одновременно, они несовместны.

• Пара $(A, C)$: $A \cap C = \{3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$. Пересечение не пусто. События могут произойти одновременно (если выпадет 3 или 5). Следовательно, они совместны.

• Пара $(B, C)$: $B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$. События не могут произойти одновременно, они несовместны.

Ответ: совместной является пара событий $(A, C)$.

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть их пересечение является пустым множеством ($X \cap Y = \emptyset$). Из анализа в предыдущем пункте:

• Пара $(A, B)$: $A \cap B = \emptyset$. Являются несовместными.

• Пара $(B, C)$: $B \cap C = \emptyset$. Являются несовместными.

Ответ: несовместными являются пары событий $(A, B)$ и $(B, C)$.

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

Два события являются противоположными, если они несовместны и их объединение составляет все пространство элементарных исходов ($X \cup Y = \Omega$).

• Пара $(A, B)$: несовместны, но их объединение $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\} \neq \Omega$, так как не содержит исход '1'. Не являются противоположными.

• Пара $(B, C)$: несовместны, и их объединение $B \cup C = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$. Являются противоположными.

Ответ: противоположной является пара событий $(B, C)$.

г) определите событие, противоположное событию А;

Событие, противоположное событию $A$ (обозначается $\bar{A}$), состоит из всех элементарных исходов, которые не благоприятствуют событию $A$.

$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{3, 5\} = \{1, 2, 4, 6\}$.

Словесное описание этого события: «выпало число 1, 2, 4 или 6».

Ответ: событие, противоположное событию $A$ (событие $\bar{A}$), состоит в том, что «выпало число 1, 2, 4 или 6».

д) определите сумму и произведение событий А и В;

Сумма событий ($A + B$ или $A \cup B$) – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$.

$A \cup B = \{3, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$.

Произведение событий ($A \cdot B$ или $A \cap B$) – это событие, состоящее в совместном наступлении событий $A$ и $B$.

$A \cap B = \{3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \emptyset$ (невозможное событие).

Ответ: Сумма $A+B$ – это событие «выпало число 2, 3, 4, 5 или 6». Произведение $A \cdot B$ – невозможное событие.

е) определите сумму и произведение событий А и С;

Сумма: $A+C = A \cup C = \{3, 5\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 5\}$. Это событие совпадает с событием $C$.

Произведение: $A \cdot C = A \cap C = \{3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$. Это событие совпадает с событием $A$.

Ответ: Сумма $A+C$ – это событие «выпало нечетное число» (событие $C$). Произведение $A \cdot C$ – это событие «выпало число 3 или 5» (событие $A$).

ж) определите сумму и произведение событий В и С.

Сумма: $B+C = B \cup C = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$. Это достоверное событие (то есть, произойдет в любом случае).

Произведение: $B \cdot C = B \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$. Это невозможное событие.

Ответ: Сумма $B+C$ – это достоверное событие. Произведение $B \cdot C$ – невозможное событие.

5. На плоскости отмечено 10 синих точек и 7 оранжевых. Каждая из отмеченных точек соединена с каждой? Наудачу выбирается один из них. Определим:

• событие $A$: «оба конца отрезка синие»,

• событие $B$: «один из концов отрезка синий, а другой – оранжевый»,

• событие $C$: «хотя бы один из концов отрезка синий»,

• событие $D$: «хотя бы один из концов отрезка оранжевый»,

• событие $E$: «оба конца отрезка оранжевые».

Ответьте на следующие вопросы:

а) какие-то из этих событий образуют пары противоположных, определите эти пары;

б) укажите тройки событий такие, что одно из трех является суммой двух других.

в) укажите тройку событий, образующих полную группу.

г) какое из обозначенных событий является произведением событий $D$ и $C$?

Для решения задачи проанализируем определенные события. Пусть элементарными исходами при выборе отрезка являются три возможных варианта в зависимости от цвета его концов:

• Оба конца синие. Это событие $A$.
• Один конец синий, а другой — оранжевый. Это событие $B$.
• Оба конца оранжевые. Это событие $E$.

Эти три события $A$, $B$ и $E$ являются несовместными (отрезок не может одновременно принадлежать к двум из этих категорий) и вместе они образуют полную группу, так как любой отрезок должен принадлежать к одной из этих трех категорий.

Теперь выразим остальные события через $A$, $B$ и $E$:

• Событие $C$: «хотя бы один из концов отрезка синий». Это означает, что отрезок может иметь либо оба синих конца (событие $A$), либо один синий и один оранжевый конец (событие $B$). Таким образом, событие $C$ является объединением (суммой) событий $A$ и $B$: $C = A \cup B$.
• Событие $D$: «хотя бы один из концов отрезка оранжевый». Это означает, что отрезок может иметь либо оба оранжевых конца (событие $E$), либо один синий и один оранжевый конец (событие $B$). Таким образом, событие $D$ является объединением (суммой) событий $E$ и $B$: $D = E \cup B$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) какие-то из этих событий образуют пары противоположных, определите эти пары;

Противоположным событию $X$ является событие $\bar{X}$, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $X$.