Страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

6. Монета подбрасывается два раза. Приведите 4 примера событий при таком испытании, одно из которых является достоверным, а другое - невозможным.

В эксперименте по двукратному подбрасыванию монеты существует четыре равновероятных элементарных исхода. Если обозначить орла как «О», а решку как «Р», то пространство исходов будет следующим: ОО (два орла), ОР (орёл, затем решка), РО (решка, затем орёл), РР (две решки).

Достоверное событие
Достоверным называется событие, которое в результате испытания произойдет обязательно. Его вероятность равна 1. Такое событие включает в себя все возможные элементарные исходы.
Пример: «Выпадет не более двух решек».
Это событие произойдет при любом из четырёх исходов: 0 решек (исход ОО), 1 решка (исходы ОР, РО) или 2 решки (исход РР). Поскольку любой возможный результат удовлетворяет условию, событие является достоверным.
Ответ: Событие «Выпадет не более двух решек» является достоверным.

Невозможное событие
Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может. Его вероятность равна 0. Такое событие не содержит ни одного элементарного исхода.
Пример: «Выпадет три орла».
Поскольку монета подбрасывается только два раза, максимальное число выпавших орлов не может превышать двух. Следовательно, это событие невозможно.
Ответ: Событие «Выпадет три орла» является невозможным.

Пример случайного события 1
Случайным называется событие, которое в результате испытания может как произойти, так и не произойти.
Пример: «Выпадут разные стороны монеты».
Это событие наступает при исходах ОР и РО. Оно не является ни достоверным, ни невозможным. Вероятность этого события равна $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Событие «Выпадут разные стороны монеты» является случайным.

Пример случайного события 2
Пример: «Хотя бы один раз выпадет орёл».
Это событие наступает при исходах ОО, ОР и РО. Так как оно может произойти (при этих трёх исходах), но не гарантированно (не происходит при исходе РР), оно является случайным. Вероятность этого события равна $P = \frac{3}{4}$.
Ответ: Событие «Хотя бы один раз выпадет орёл» является случайным.

7. Определим испытание как выбор произвольной точки на отрезке $[-1;1]$. Приведите 4 примера событий при таком испытании, одно из которых является достоверным, а другое - невозможным.

В данном испытании пространство элементарных исходов $\Omega$ — это множество всех точек на отрезке $[-1, 1]$. Любое событие является подмножеством этого отрезка. Ниже приведены четыре примера событий, соответствующих условиям задачи.

Достоверное событие
Достоверным называется событие, которое в результате испытания произойдет с вероятностью 1. В данном случае это событие, которое включает в себя все возможные исходы.
Пример: Событие A, состоящее в том, что выбранная точка $x$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Так как по определению испытания точка выбирается именно из этого отрезка, данное событие является достоверным.
Ответ: Выбранная точка $x$ удовлетворяет неравенству $-1 \le x \le 1$.

Невозможное событие
Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате испытания, его вероятность равна 0.
Пример: Событие B, состоящее в том, что выбранная точка $x$ равна 2. Так как число 2 не входит в отрезок $[-1, 1]$, это событие не может произойти.
Ответ: Выбранная точка $x$ равна 2.

Случайное событие 1
Случайным называется событие, которое в результате испытания может как произойти, так и не произойти.
Пример: Событие C, состоящее в том, что выбранная точка $x$ является положительной. Это соответствует выбору точки из промежутка $(0, 1]$. Вероятность этого события, исходя из геометрического определения, равна отношению длины интервала $(0, 1]$ к длине всего отрезка $[-1, 1]$: $P(C) = \frac{1-0}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Выбранная точка $x$ является положительной ($x > 0$).

Случайное событие 2
Еще один пример случайного события.
Пример: Событие D, состоящее в том, что квадрат выбранной точки $x$ меньше или равен $0.25$. Неравенство $x^2 \le 0.25$ равносильно $|x| \le 0.5$, что в свою очередь означает $-0.5 \le x \le 0.5$. Вероятность этого события: $P(D) = \frac{0.5 - (-0.5)}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Квадрат выбранной точки $x$ не превышает $0.25$ (то есть $x^2 \le 0.25$).

8. Пусть испытание состоит в одновременном подбрасывании трех различных монет. Будем записывать «0» каждый раз, когда выпадает «орел», и записывать «1», если выпадает «решка». Определим событие $A$: «на всех монетах выпал «орел»», событие $B$: «ровно на одной монете из трех выпал «орел»», $C$: «на первой монете выпал «орел»».

а) Запишите последовательности из нулей и единиц, которые соответствуют элементарным исходам событий $A$, $B$ и $C$.

б) Определите еще два события так, чтобы вместе с событиями $A$ и $B$ все четыре образовали полную группу событий.

а)

Сначала определим все возможные элементарные исходы испытания. Поскольку подбрасываются три монеты, и для каждой монеты есть два исхода («орел» - 0 или «решка» - 1), общее число элементарных исходов равно $2^3 = 8$. Запишем их в виде последовательностей из трех цифр, где позиция цифры соответствует номеру монеты:

$\Omega = \{000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111\}$

Теперь найдем последовательности, соответствующие каждому из событий:

• Событие A: «на всех монетах выпал орел». Это означает, что все три исхода — «орел», то есть «0». Этому событию соответствует только одна последовательность: 000.
• Событие B: «ровно на одной монете из трех выпал орел». Это означает, что в последовательности из трех цифр должна быть ровно одна цифра «0». Таких последовательностей три: «орел» на первой монете (011), на второй (101) или на третьей (110).
• Событие C: «на первой монете выпал орел». Это означает, что последовательность должна начинаться с цифры «0». Остальные две цифры могут быть любыми. Таких последовательностей четыре: 000, 001, 010, 011.

Ответ:
Для события A: {000}
Для события B: {011, 101, 110}
Для события C: {000, 001, 010, 011}

б)

Полная группа событий — это набор событий, которые являются попарно несовместными (никакие два не могут произойти одновременно) и их объединение составляет все пространство элементарных исходов (в результате испытания обязательно произойдет одно из них).

Событие A соответствует исходу «выпало 3 орла». Его элементарный исход: $A = \{000\}$.

Событие B соответствует исходу «выпал ровно 1 орел». Его элементарные исходы: $B = \{011, 101, 110\}$.

События A и B несовместны, так как количество орлов в них разное.

Чтобы составить полную группу, нам нужно описать все остальные возможные исходы. Все пространство исходов $\Omega$ состоит из 8 последовательностей. Исключим из него исходы, входящие в события A и B:

$\Omega \setminus (A \cup B) = \{000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111\} \setminus \{000, 011, 101, 110\} = \{001, 010, 100, 111\}$

Оставшиеся исходы можно сгруппировать по числу выпавших орлов:

• Исходы, где выпало ровно два орла: {001, 010, 100}.
• Исход, где не выпало ни одного орла (выпали все решки): {111}.

Таким образом, мы можем определить два новых события:

Событие D: «ровно на двух монетах из трех выпал орел». Этому событию соответствуют исходы {001, 010, 100}.

Событие E: «ни на одной монете не выпал орел» (или «на всех монетах выпала решка»). Этому событию соответствует исход {111}.

Проверим, образуют ли события A, B, D и E полную группу:

1. Попарная несовместность: События A (3 орла), B (1 орел), D (2 орла) и E (0 орлов) не могут произойти одновременно, так как в каждом из них разное количество орлов.
2. Полнота: Объединение множеств их исходов $A \cup B \cup D \cup E = \{000\} \cup \{011, 101, 110\} \cup \{001, 010, 100\} \cup \{111\} = \Omega$. Это все 8 возможных исходов.

Следовательно, события A, B и два новых события D и E образуют полную группу.

Ответ: Два новых события могут быть определены так:
1. «Ровно на двух монетах из трех выпал орел».
2. «Ни на одной монете не выпал орел» (или «На всех монетах выпала решка»).

9. Пусть испытание состоит в однократном подбрасывании игрального кубика. Определим следующие события:

- событие $A$ – «выпало число 4 или 5»;

- событие $B$ – «выпало нечетное число»;

- событие $C$: $\{1, 2, 3, 6\}$.

Ответьте на следующие вопросы:

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

г) определите событие, противоположное событию $B$;

д) определите сумму и произведение событий $A$ и $B$;

е) определите сумму и произведение событий $A$ и $C$;

ж) определите сумму и произведение событий $B$ и $C$.

Для решения задачи сначала определим множества элементарных исходов, соответствующие каждому событию. Пространство элементарных исходов при однократном подбрасывании игрального кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие A – «выпало число 4 или 5» соответствует множеству $A = \{4, 5\}$.

Событие B – «выпало нечетное число» соответствует множеству $B = \{1, 3, 5\}$.

Событие C соответствует множеству $C = \{1, 2, 3, 6\}$.

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

Два события называются совместными, если их одновременное наступление возможно, то есть их пересечение не является пустым множеством. Проверим все пары:

1. Пара (A, B): $A \cap B = \{4, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{5\}$. Так как пересечение не пусто, события A и B являются совместными.

2. Пара (A, C): $A \cap C = \{4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \emptyset$. Пересечение пусто, значит события A и C не являются совместными.

3. Пара (B, C): $B \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 3\}$. Так как пересечение не пусто, события B и C являются совместными.

Ответ: совместными являются пары событий (A, B) и (B, C).

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть их пересечение является пустым множеством. Из пункта (а) мы уже выяснили, что $A \cap C = \emptyset$.

Ответ: несовместной является пара событий (A, C).

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

Два события являются противоположными, если они несовместны и их объединение (сумма) образует все пространство элементарных исходов $\Omega$. Проверим единственную несовместную пару (A, C):

Объединение: $A \cup C = \{4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$.

Поскольку события A и C несовместны и в сумме дают $\Omega$, они являются противоположными.

Ответ: противоположными является пара событий (A, C).

г) определите событие, противоположное событию B;

Событие, противоположное событию B (обозначается $\bar{B}$), состоит из всех элементарных исходов, которые не входят в B.

Событие $B = \{1, 3, 5\}$.

Противоположное событие $\bar{B} = \Omega \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{2, 4, 6\}$.

Словесно это событие описывается как «выпало четное число».

Ответ: событие, противоположное событию B, — это «выпало четное число», что соответствует множеству исходов $\{2, 4, 6\}$.

д) определите сумму и произведение событий A и B;

Сумма событий ($A \cup B$) – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий. Произведение ($A \cap B$) – событие, состоящее в одновременном наступлении обоих событий.

Сумма: $A \cup B = \{4, 5\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 4, 5\}$.

Произведение: $A \cap B = \{4, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{5\}$.

Ответ: сумма событий A и B есть множество $\{1, 3, 4, 5\}$, а их произведение – множество $\{5\}$.

е) определите сумму и произведение событий A и C;

Сумма: $A \cup C = \{4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$.

Произведение: $A \cap C = \{4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \emptyset$.

Ответ: сумма событий A и C есть множество $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, а их произведение – пустое множество $\emptyset$.

ж) определите сумму и произведение событий B и C.

Сумма: $B \cup C = \{1, 3, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 5, 6\}$.

Произведение: $B \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 3\}$.

Ответ: сумма событий B и C есть множество $\{1, 2, 3, 5, 6\}$, а их произведение – множество $\{1, 3\}$.

10. Белла отметила на окружности несколько бирюзовых точек, а Акниет – несколько фиолетовых. Акниет каждую отмеченную точку соединила с каждой, а Белла наугад выбирает треугольник с вершинами в отмеченных точках. Сформируем события:

• событие $A$: «все три вершины треугольника оказались бирюзовыми»,

• событие $B$: «ровно одна вершина треугольника оказалась бирюзовой»,

• событие $C$: «ровно две вершины треугольника оказались бирюзовыми»,

• событие $D$: «все вершины треугольника оказались фиолетовыми»,

• событие $E$: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась бирюзовой»,

• событие $F$: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась фиолетовой».

Ответьте на следующие вопросы:

a) какие-то из этих событий образуют пары противоположных, определите эти пары;

б) какие-то четыре из этих событий образуют полную группу, укажите эту четверку событий;

в) докажите, что сумма событий $B$ и $C$ является произведением событий $E$ и $F$.

а) какие-то из этих событий образуют пары противоположных, определите эти пары

Противоположными (или взаимно-дополнительными) называются два несовместных события, одно из которых обязательно происходит в результате опыта. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Если событие обозначено как X, то противоположное ему обозначается как $\bar{X}$.

Рассмотрим событие E: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась бирюзовой». Это означает, что число бирюзовых вершин может быть 1, 2 или 3. Противоположным событием $\bar{E}$ будет событие «ни одной бирюзовой вершины», что в точности соответствует событию D: «все три вершины треугольника оказались фиолетовыми». Таким образом, события E и D являются противоположными.

Рассмотрим событие F: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась фиолетовой». Это означает, что не все вершины бирюзовые. Противоположным событием $\bar{F}$ будет событие «ни одной фиолетовой вершины», что означает, что все три вершины бирюзовые. Это в точности соответствует событию A: «все три вершины треугольника оказались бирюзовыми». Таким образом, события F и A являются противоположными.

Ответ: Пары противоположных событий: (A, F) и (D, E).

б) какие-то четыре из этих событий образуют полную группу, укажите эту четверку событий

Полная группа событий — это множество событий, таких, что в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из них. Это означает, что события попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием.

Рассмотрим состав вершин любого случайно выбранного треугольника. Количество бирюзовых вершин в нем может принимать одно из четырех значений: 0, 1, 2 или 3. Каждому из этих взаимоисключающих исходов соответствует одно из заданных событий. 0 бирюзовых вершин (следовательно, 3 фиолетовые) — это событие D. 1 бирюзовая вершина (и 2 фиолетовые) — это событие B. 2 бирюзовые вершины (и 1 фиолетовая) — это событие C. 3 бирюзовые вершины (и 0 фиолетовых) — это событие A.

Эти четыре события A, B, C, D являются попарно несовместными, так как треугольник не может иметь одновременно, например, одну и две бирюзовые вершины. Кроме того, любой выбранный треугольник обязательно будет иметь 0, 1, 2 или 3 бирюзовые вершины, поэтому одно из этих четырех событий обязательно произойдет. Следовательно, их сумма $A + B + C + D$ является достоверным событием.

Таким образом, события A, B, C и D образуют полную группу.

Ответ: Полную группу образуют события A, B, C, D.

в) докажите, что сумма событий B и C является произведением событий E и F

Требуется доказать равенство $B + C = E \cdot F$.

Сначала рассмотрим левую часть равенства. Сумма событий $B + C$ представляет собой событие, которое происходит, если происходит либо событие $B$ («ровно одна вершина бирюзовая»), либо событие $C$ («ровно две вершины бирюзовые»). Таким образом, событие $B+C$ означает, что «количество бирюзовых вершин в треугольнике равно 1 или 2».

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Произведение событий $E \cdot F$ представляет собой событие, которое происходит, если события $E$ и $F$ происходят одновременно. Событие E («хотя бы одна вершина бирюзовая») означает, что число бирюзовых вершин не равно нулю. Событие F («хотя бы одна вершина фиолетовая») означает, что число фиолетовых вершин не равно нулю. Поскольку в треугольнике всего 3 вершины, это эквивалентно тому, что число бирюзовых вершин не равно трем.

Следовательно, событие $E \cdot F$ означает, что выполняются оба условия одновременно: «число бирюзовых вершин не равно 0» и «число бирюзовых вершин не равно 3».

Учитывая, что число бирюзовых вершин в треугольнике может быть только 0, 1, 2 или 3 (что соответствует полной группе событий D, B, C, A), условие «не 0 и не 3» оставляет только две возможности: число бирюзовых вершин равно 1 или 2.

Таким образом, событие $E \cdot F$ означает, что «количество бирюзовых вершин в треугольнике равно 1 или 2».

Мы получили, что события $B+C$ и $E \cdot F$ имеют одинаковое смысловое содержание, то есть они эквивалентны. Равенство $B+C = E \cdot F$ доказано.

Ответ: Доказательство основано на том, что оба выражения, $B+C$ и $E \cdot F$, описывают одно и то же событие: «число бирюзовых вершин в треугольнике не является ни нулевым (0 вершин), ни полным (3 вершины)», то есть оно равно 1 или 2.