Номер 9, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. Пусть испытание состоит в однократном подбрасывании игрального кубика. Определим следующие события:

- событие $A$ – «выпало число 4 или 5»;

- событие $B$ – «выпало нечетное число»;

- событие $C$: $\{1, 2, 3, 6\}$.

Ответьте на следующие вопросы:

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

г) определите событие, противоположное событию $B$;

д) определите сумму и произведение событий $A$ и $B$;

е) определите сумму и произведение событий $A$ и $C$;

ж) определите сумму и произведение событий $B$ и $C$.

Для решения задачи сначала определим множества элементарных исходов, соответствующие каждому событию. Пространство элементарных исходов при однократном подбрасывании игрального кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие A – «выпало число 4 или 5» соответствует множеству $A = \{4, 5\}$.

Событие B – «выпало нечетное число» соответствует множеству $B = \{1, 3, 5\}$.

Событие C соответствует множеству $C = \{1, 2, 3, 6\}$.

а) определите, какие пары из этих событий являются совместными;

Два события называются совместными, если их одновременное наступление возможно, то есть их пересечение не является пустым множеством. Проверим все пары:

1. Пара (A, B): $A \cap B = \{4, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{5\}$. Так как пересечение не пусто, события A и B являются совместными.

2. Пара (A, C): $A \cap C = \{4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \emptyset$. Пересечение пусто, значит события A и C не являются совместными.

3. Пара (B, C): $B \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 3\}$. Так как пересечение не пусто, события B и C являются совместными.

Ответ: совместными являются пары событий (A, B) и (B, C).

б) определите, какие пары из этих событий являются несовместными;

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть их пересечение является пустым множеством. Из пункта (а) мы уже выяснили, что $A \cap C = \emptyset$.

Ответ: несовместной является пара событий (A, C).

в) определите, какие пары из этих событий являются противоположными;

Два события являются противоположными, если они несовместны и их объединение (сумма) образует все пространство элементарных исходов $\Omega$. Проверим единственную несовместную пару (A, C):

Объединение: $A \cup C = \{4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$.

Поскольку события A и C несовместны и в сумме дают $\Omega$, они являются противоположными.

Ответ: противоположными является пара событий (A, C).

г) определите событие, противоположное событию B;

Событие, противоположное событию B (обозначается $\bar{B}$), состоит из всех элементарных исходов, которые не входят в B.

Событие $B = \{1, 3, 5\}$.

Противоположное событие $\bar{B} = \Omega \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{2, 4, 6\}$.

Словесно это событие описывается как «выпало четное число».

Ответ: событие, противоположное событию B, — это «выпало четное число», что соответствует множеству исходов $\{2, 4, 6\}$.

д) определите сумму и произведение событий A и B;

Сумма событий ($A \cup B$) – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий. Произведение ($A \cap B$) – событие, состоящее в одновременном наступлении обоих событий.

Сумма: $A \cup B = \{4, 5\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 4, 5\}$.

Произведение: $A \cap B = \{4, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{5\}$.

Ответ: сумма событий A и B есть множество $\{1, 3, 4, 5\}$, а их произведение – множество $\{5\}$.

е) определите сумму и произведение событий A и C;

Сумма: $A \cup C = \{4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$.

Произведение: $A \cap C = \{4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \emptyset$.

Ответ: сумма событий A и C есть множество $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, а их произведение – пустое множество $\emptyset$.

ж) определите сумму и произведение событий B и C.

Сумма: $B \cup C = \{1, 3, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 5, 6\}$.

Произведение: $B \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 3\}$.

Ответ: сумма событий B и C есть множество $\{1, 2, 3, 5, 6\}$, а их произведение – множество $\{1, 3\}$.