Номер 10, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. Белла отметила на окружности несколько бирюзовых точек, а Акниет – несколько фиолетовых. Акниет каждую отмеченную точку соединила с каждой, а Белла наугад выбирает треугольник с вершинами в отмеченных точках. Сформируем события:

• событие $A$: «все три вершины треугольника оказались бирюзовыми»,

• событие $B$: «ровно одна вершина треугольника оказалась бирюзовой»,

• событие $C$: «ровно две вершины треугольника оказались бирюзовыми»,

• событие $D$: «все вершины треугольника оказались фиолетовыми»,

• событие $E$: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась бирюзовой»,

• событие $F$: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась фиолетовой».

Ответьте на следующие вопросы:

a) какие-то из этих событий образуют пары противоположных, определите эти пары;

б) какие-то четыре из этих событий образуют полную группу, укажите эту четверку событий;

в) докажите, что сумма событий $B$ и $C$ является произведением событий $E$ и $F$.

а) какие-то из этих событий образуют пары противоположных, определите эти пары

Противоположными (или взаимно-дополнительными) называются два несовместных события, одно из которых обязательно происходит в результате опыта. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Если событие обозначено как X, то противоположное ему обозначается как $\bar{X}$.

Рассмотрим событие E: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась бирюзовой». Это означает, что число бирюзовых вершин может быть 1, 2 или 3. Противоположным событием $\bar{E}$ будет событие «ни одной бирюзовой вершины», что в точности соответствует событию D: «все три вершины треугольника оказались фиолетовыми». Таким образом, события E и D являются противоположными.

Рассмотрим событие F: «хотя бы одна вершина треугольника оказалась фиолетовой». Это означает, что не все вершины бирюзовые. Противоположным событием $\bar{F}$ будет событие «ни одной фиолетовой вершины», что означает, что все три вершины бирюзовые. Это в точности соответствует событию A: «все три вершины треугольника оказались бирюзовыми». Таким образом, события F и A являются противоположными.

Ответ: Пары противоположных событий: (A, F) и (D, E).

б) какие-то четыре из этих событий образуют полную группу, укажите эту четверку событий

Полная группа событий — это множество событий, таких, что в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из них. Это означает, что события попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием.

Рассмотрим состав вершин любого случайно выбранного треугольника. Количество бирюзовых вершин в нем может принимать одно из четырех значений: 0, 1, 2 или 3. Каждому из этих взаимоисключающих исходов соответствует одно из заданных событий. 0 бирюзовых вершин (следовательно, 3 фиолетовые) — это событие D. 1 бирюзовая вершина (и 2 фиолетовые) — это событие B. 2 бирюзовые вершины (и 1 фиолетовая) — это событие C. 3 бирюзовые вершины (и 0 фиолетовых) — это событие A.

Эти четыре события A, B, C, D являются попарно несовместными, так как треугольник не может иметь одновременно, например, одну и две бирюзовые вершины. Кроме того, любой выбранный треугольник обязательно будет иметь 0, 1, 2 или 3 бирюзовые вершины, поэтому одно из этих четырех событий обязательно произойдет. Следовательно, их сумма $A + B + C + D$ является достоверным событием.

Таким образом, события A, B, C и D образуют полную группу.

Ответ: Полную группу образуют события A, B, C, D.

в) докажите, что сумма событий B и C является произведением событий E и F

Требуется доказать равенство $B + C = E \cdot F$.

Сначала рассмотрим левую часть равенства. Сумма событий $B + C$ представляет собой событие, которое происходит, если происходит либо событие $B$ («ровно одна вершина бирюзовая»), либо событие $C$ («ровно две вершины бирюзовые»). Таким образом, событие $B+C$ означает, что «количество бирюзовых вершин в треугольнике равно 1 или 2».

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Произведение событий $E \cdot F$ представляет собой событие, которое происходит, если события $E$ и $F$ происходят одновременно. Событие E («хотя бы одна вершина бирюзовая») означает, что число бирюзовых вершин не равно нулю. Событие F («хотя бы одна вершина фиолетовая») означает, что число фиолетовых вершин не равно нулю. Поскольку в треугольнике всего 3 вершины, это эквивалентно тому, что число бирюзовых вершин не равно трем.

Следовательно, событие $E \cdot F$ означает, что выполняются оба условия одновременно: «число бирюзовых вершин не равно 0» и «число бирюзовых вершин не равно 3».

Учитывая, что число бирюзовых вершин в треугольнике может быть только 0, 1, 2 или 3 (что соответствует полной группе событий D, B, C, A), условие «не 0 и не 3» оставляет только две возможности: число бирюзовых вершин равно 1 или 2.

Таким образом, событие $E \cdot F$ означает, что «количество бирюзовых вершин в треугольнике равно 1 или 2».

Мы получили, что события $B+C$ и $E \cdot F$ имеют одинаковое смысловое содержание, то есть они эквивалентны. Равенство $B+C = E \cdot F$ доказано.

Ответ: Доказательство основано на том, что оба выражения, $B+C$ и $E \cdot F$, описывают одно и то же событие: «число бирюзовых вершин в треугольнике не является ни нулевым (0 вершин), ни полным (3 вершины)», то есть оно равно 1 или 2.