Номер 2, страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Жанар, Олег и еще пятеро друзей купили билеты в кино на один ряд на места с 1-е по 7-е.

a) Сколькими способами они могут сесть на свои места?

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег сядет на 2-е место?

в) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег не сядет на 2-е место?

г) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар окажутся сидящими рядом?

д) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар не окажутся сидящими рядом?

Всего 7 друзей (Жанар, Олег и еще 5) и 7 мест. Это задача на перестановки.

а) Сколькими способами они могут сесть на свои места?
Это число перестановок из 7 элементов. Количество способов равно факториалу числа человек. $P_n = n!$
В данном случае $n=7$.
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.
Ответ: 5040

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег сядет на 2-е место?
Если место Олега зафиксировано (2-е место), то остается 6 друзей, которых нужно рассадить на оставшиеся 6 мест. Это число перестановок из 6 элементов.
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ способов.
Ответ: 720

в) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег не сядет на 2-е место?
Это можно найти, вычтя из общего числа способов (пункт а) число способов, когда Олег сидит на 2-м месте (пункт б).
$N = P_7 - P_6 = 5040 - 720 = 4320$ способов.
Либо можно рассуждать так: у Олега есть 6 вариантов сесть (любое место, кроме второго). Для каждого из этих вариантов оставшиеся 6 человек могут сесть на 6 оставшихся мест $6!$ способами. Итог: $6 \times 6! = 6 \times 720 = 4320$ способов.
Ответ: 4320

г) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар окажутся сидящими рядом?
Будем рассматривать Олега и Жанар как единый объект. Тогда у нас есть 6 "объектов" для рассадки (пара "Олег и Жанар" и 5 друзей). Число способов их рассадить равно $P_6 = 6! = 720$.
Внутри пары "Олег и Жанар" они могут сидеть двумя способами: "Олег, Жанар" или "Жанар, Олег" ($2! = 2$ способа).
Общее число способов равно произведению этих двух величин:
$N = 6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ способов.
Ответ: 1440

д) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Олег и Жанар не окажутся сидящими рядом?
Чтобы найти это число, нужно из общего числа всех возможных рассадок (пункт а) вычесть число рассадок, при которых они сидят рядом (пункт г).
$N = (\text{Всего способов}) - (\text{Способы, где они рядом}) = 7! - (6! \times 2!) = 5040 - 1440 = 3600$ способов.
Ответ: 3600