Номер 8, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. На окружности отмечены 6 красных и 9 синих точек.

а) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина красная?

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно две вершины синие?

а) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина красная?

Чтобы составить треугольник с ровно одной красной вершиной, необходимо выбрать 1 красную точку из 6 имеющихся и 2 синие точки из 9 имеющихся. Поскольку все точки расположены на окружности, любые три из них не лежат на одной прямой и, следовательно, могут образовывать треугольник.

Количество способов выбрать 1 красную вершину из 6 красных точек вычисляется по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 1 красную точку из 6:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6$ способов.

Число способов выбрать 2 синие вершины из 9 синих точек:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество треугольников с ровно одной красной вершиной равно произведению числа способов выбора одной красной точки на число способов выбора двух синих точек:

$N = C_6^1 \cdot C_9^2 = 6 \cdot 36 = 216$.

Ответ: 216

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно две вершины синие?

Треугольник имеет три вершины. Если ровно две вершины треугольника синие, то третья вершина должна быть не синей, то есть красной. Таким образом, условие задачи заключается в поиске количества треугольников, имеющих 2 синие и 1 красную вершину.

Эта задача эквивалентна задаче из пункта а), но решим ее, выбрав сначала синие вершины.

Количество способов выбрать 2 синие вершины из 9 доступных:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ способов.

Количество способов выбрать 1 красную вершину из 6 доступных:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$ способов.

Общее количество таких треугольников равно произведению этих значений:

$N = C_9^2 \cdot C_6^1 = 36 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 216