Номер 3, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. В ряд стоят 15 стульев.

(1) a) Сколькими способами можно выбрать 4 из них?

(1) б) Сколькими способами можно выбрать 11 из них?

(1) в) Сколькими способами 4 девушки могут разместиться на 15 стульях?

(1) а) Сколькими способами можно выбрать 4 из них?

Эта задача о выборе 4 стульев из 15, где порядок выбора не имеет значения. Следовательно, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, общее количество стульев $n=15$, а количество стульев, которые нужно выбрать, $k=4$. Подставляем значения в формулу: $C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!}$.

Распишем и вычислим факториалы: $C_{15}^4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{24}$.

Сокращаем дробь: $C_{15}^4 = 15 \times 7 \times 13 \times \frac{14 \times 12}{14 \times 12} = 15 \times 7 \times 13 = 1365$.

Таким образом, существует 1365 способов выбрать 4 стула из 15.
Ответ: 1365.

(1) б) Сколькими способами можно выбрать 11 из них?

Аналогично пункту а), здесь нам нужно выбрать 11 стульев из 15. Порядок выбора также не важен, поэтому используем ту же формулу для числа сочетаний. Здесь $n=15$ и $k=11$.

$C_{15}^{11} = \frac{15!}{11!(15-11)!} = \frac{15!}{11!4!}$.

Можно заметить, что это выражение идентично выражению из пункта а), так как существует свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. Логически это означает, что выбор 11 стульев, которые нужно занять, эквивалентен выбору 4 стульев, которые останутся пустыми.
$C_{15}^{11} = C_{15}^{4} = 1365$.

Таким образом, существует 1365 способов выбрать 11 стульев из 15.
Ответ: 1365.

(1) в) Сколькими способами 4 девушки могут разместиться на 15 стульях?

В этой задаче нужно разместить 4 разных девушек на 15 стульях. Поскольку девушки различны, и они занимают конкретные стулья, порядок их рассадки имеет значение. Это задача на размещения. Мы должны выбрать 4 стула из 15 и рассадить на них 4 девушек. Количество способов это сделать вычисляется по формуле числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Здесь $n=15$ (количество доступных мест/стульев) и $k=4$ (количество девушек). $A_{15}^4 = \frac{15!}{(15-4)!} = \frac{15!}{11!}$.

Вычисляем значение: $A_{15}^4 = 15 \times 14 \times 13 \times 12 = 32760$.

Альтернативный способ рассуждения: сначала выбираем 4 стула из 15 ($C_{15}^4$ способов), а затем рассаживаем на эти 4 выбранных стула 4 девушек ($4!$ способов).
Общее число способов будет произведением этих двух величин:
$N = C_{15}^4 \times 4! = 1365 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 1365 \times 24 = 32760$.

Таким образом, 4 девушки могут разместиться на 15 стульях 32760 способами.
Ответ: 32760.