Страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

3. В ряд стоят 15 стульев.

(1) a) Сколькими способами можно выбрать 4 из них?

(1) б) Сколькими способами можно выбрать 11 из них?

(1) в) Сколькими способами 4 девушки могут разместиться на 15 стульях?

(1) а) Сколькими способами можно выбрать 4 из них?

Эта задача о выборе 4 стульев из 15, где порядок выбора не имеет значения. Следовательно, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, общее количество стульев $n=15$, а количество стульев, которые нужно выбрать, $k=4$. Подставляем значения в формулу: $C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!}$.

Распишем и вычислим факториалы: $C_{15}^4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{24}$.

Сокращаем дробь: $C_{15}^4 = 15 \times 7 \times 13 \times \frac{14 \times 12}{14 \times 12} = 15 \times 7 \times 13 = 1365$.

Таким образом, существует 1365 способов выбрать 4 стула из 15.
Ответ: 1365.

(1) б) Сколькими способами можно выбрать 11 из них?

Аналогично пункту а), здесь нам нужно выбрать 11 стульев из 15. Порядок выбора также не важен, поэтому используем ту же формулу для числа сочетаний. Здесь $n=15$ и $k=11$.

$C_{15}^{11} = \frac{15!}{11!(15-11)!} = \frac{15!}{11!4!}$.

Можно заметить, что это выражение идентично выражению из пункта а), так как существует свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. Логически это означает, что выбор 11 стульев, которые нужно занять, эквивалентен выбору 4 стульев, которые останутся пустыми.
$C_{15}^{11} = C_{15}^{4} = 1365$.

Таким образом, существует 1365 способов выбрать 11 стульев из 15.
Ответ: 1365.

(1) в) Сколькими способами 4 девушки могут разместиться на 15 стульях?

В этой задаче нужно разместить 4 разных девушек на 15 стульях. Поскольку девушки различны, и они занимают конкретные стулья, порядок их рассадки имеет значение. Это задача на размещения. Мы должны выбрать 4 стула из 15 и рассадить на них 4 девушек. Количество способов это сделать вычисляется по формуле числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Здесь $n=15$ (количество доступных мест/стульев) и $k=4$ (количество девушек). $A_{15}^4 = \frac{15!}{(15-4)!} = \frac{15!}{11!}$.

Вычисляем значение: $A_{15}^4 = 15 \times 14 \times 13 \times 12 = 32760$.

Альтернативный способ рассуждения: сначала выбираем 4 стула из 15 ($C_{15}^4$ способов), а затем рассаживаем на эти 4 выбранных стула 4 девушек ($4!$ способов).
Общее число способов будет произведением этих двух величин:
$N = C_{15}^4 \times 4! = 1365 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 1365 \times 24 = 32760$.

Таким образом, 4 девушки могут разместиться на 15 стульях 32760 способами.
Ответ: 32760.

(/Б) сколькими способами 12 девушек могут разместиться на 10 стульях

4. В классе 15 мальчиков и каждое утро они обмениваются рукопожатиями каждый с каждым. Сколько рукопожатий происходит каждое утро?

4. Эта задача заключается в подсчете количества уникальных пар, которые можно составить из 15 мальчиков для рукопожатия. Поскольку в каждом рукопожатии участвуют двое, и порядок (кто кому пожимает руку) не имеет значения, это является задачей на нахождение числа сочетаний.
Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае общее количество мальчиков $n = 15$, а в каждом рукопожатии участвуют $k = 2$ человека.
Подставим эти значения в формулу:
$C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!}$
Чтобы упростить вычисление, распишем факториалы и сократим одинаковые множители:
$C_{15}^2 = \frac{15 \times 14 \times 13!}{2 \times 1 \times 13!} = \frac{15 \times 14}{2}$
Теперь выполним расчет:
$C_{15}^2 = \frac{210}{2} = 105$
Таким образом, каждое утро в классе происходит 105 рукопожатий.
Ответ: 105

5. На плоскости отмечено 5 зеленых и 8 голубых точек. Каждую из точек соединили с каждой отрезком.

а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?

б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?

в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?

а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?
Чтобы найти количество отрезков, у которых оба конца голубого цвета, необходимо вычислить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 8 имеющихся голубых точек. Поскольку порядок выбора точек для отрезка не важен (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае у нас $n=8$ (количество голубых точек) и $k=2$ (поскольку отрезок соединяет две точки).
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$.
Таким образом, существует 28 отрезков с обоими концами голубого цвета.
Ответ: 28

б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?
Аналогично предыдущему пункту, для нахождения количества отрезков с зелеными концами нужно посчитать число сочетаний двух точек из пяти доступных зеленых точек. Здесь $n=5$ и $k=2$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.
Следовательно, можно построить 10 отрезков с обоими концами зеленого цвета.
Ответ: 10

в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?
Отрезок, у которого концы не совпадают по цвету, соединяет одну зеленую и одну голубую точку. Чтобы найти их количество, мы должны выбрать 1 зеленую точку из 5 и 1 голубую точку из 8. По комбинаторному правилу произведения, общее число таких пар (и, соответственно, отрезков) равно произведению числа способов выбора для каждого цвета.
Число способов выбрать 1 зеленую точку из 5 равно 5.
Число способов выбрать 1 голубую точку из 8 равно 8.
Общее количество разноцветных отрезков: $5 \times 8 = 40$.
Существует и второй способ решения. Можно найти общее количество всех возможных отрезков и вычесть из него количество одноцветных отрезков (найденных в пунктах а и б).
Всего точек на плоскости: $5$ зеленых + $8$ голубых = $13$ точек.
Общее количество отрезков: $C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \times 12}{2} = 78$.
Количество разноцветных отрезков: $78 - (28 + 10) = 78 - 38 = 40$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 40

6. В классе 12 мальчиков и 12 девочек. Требуется выбрать команду, в которой должно быть 3 мальчика и 2 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

7. Имеется 8 одинаковых

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Поскольку выбор мальчиков и выбор девочек являются независимыми событиями, общее количество способов сформировать команду будет равно произведению количества способов выбрать мальчиков и количества способов выбрать девочек.

1. Выбор мальчиков
Нужно выбрать 3 мальчика из 12. Порядок, в котором их выбирают, не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.
В данном случае $n=12$ и $k=3$.
Число способов выбрать мальчиков:$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$.

2. Выбор девочек
Нужно выбрать 2 девочки из 12. Аналогично используем формулу для числа сочетаний.
В данном случае $n=12$ и $k=2$.
Число способов выбрать девочек:$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$.

3. Общее количество способов
Чтобы найти общее количество способов сформировать команду, необходимо перемножить число способов выбора мальчиков и число способов выбора девочек (по правилу произведения в комбинаторике).
Общее число способов = (Число способов выбрать мальчиков) $\times$ (Число способов выбрать девочек) = $220 \times 66 = 14520$.

Ответ: 14520

7. Имеется 3 одинаковых белых шара и 4 одинаковых красных.

а) Сколькими способами можно поставить их в один ряд?

б) Сколькими способами можно поставить их в один ряд так, чтобы на первом месте оказался белый шар?

а) Всего имеется $3 + 4 = 7$ шаров. Поскольку шары одного цвета одинаковы, данная задача относится к перестановкам с повторениями. Общее количество способов расставить шары в ряд равно количеству способов выбрать 3 места для белых шаров из 7 возможных позиций. Это число можно рассчитать по формуле числа сочетаний:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n=7$ — общее количество мест, а $k=3$ — количество белых шаров. Подставим значения:

$C_{7}^{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Таким образом, существует 35 способов расставить шары. Ответ: 35

б) Если на первом месте должен стоять белый шар, мы закрепляем его на этой позиции. После этого у нас остается $7-1=6$ свободных мест и $3-1=2$ белых и 4 красных шара, которые нужно по этим местам распределить. Задача сводится к тому, чтобы найти количество способов расставить 2 белых и 4 красных шара на 6 местах. Это аналогично выбору 2 мест для белых шаров из 6 оставшихся:

$C_{6}^{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, существует 15 способов расставить шары так, чтобы на первом месте оказался белый шар. Ответ: 15

8. На окружности отмечены 6 красных и 9 синих точек.

а) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина красная?

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно две вершины синие?

а) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина красная?

Чтобы составить треугольник с ровно одной красной вершиной, необходимо выбрать 1 красную точку из 6 имеющихся и 2 синие точки из 9 имеющихся. Поскольку все точки расположены на окружности, любые три из них не лежат на одной прямой и, следовательно, могут образовывать треугольник.

Количество способов выбрать 1 красную вершину из 6 красных точек вычисляется по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 1 красную точку из 6:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6$ способов.

Число способов выбрать 2 синие вершины из 9 синих точек:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество треугольников с ровно одной красной вершиной равно произведению числа способов выбора одной красной точки на число способов выбора двух синих точек:

$N = C_6^1 \cdot C_9^2 = 6 \cdot 36 = 216$.

Ответ: 216

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно две вершины синие?

Треугольник имеет три вершины. Если ровно две вершины треугольника синие, то третья вершина должна быть не синей, то есть красной. Таким образом, условие задачи заключается в поиске количества треугольников, имеющих 2 синие и 1 красную вершину.

Эта задача эквивалентна задаче из пункта а), но решим ее, выбрав сначала синие вершины.

Количество способов выбрать 2 синие вершины из 9 доступных:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ способов.

Количество способов выбрать 1 красную вершину из 6 доступных:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$ способов.

Общее количество таких треугольников равно произведению этих значений:

$N = C_9^2 \cdot C_6^1 = 36 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 216

9. (3) Система состоит из восьми пронумерованных лампочек, каждая из которых может либо гореть, либо не гореть независимо от других. Сформулируем условие $A$: лампочка №1 горит. Условие $B$: обе лампочки №7 и №8 не горят. Определите количество состояний системы, для которых:

а) не выполняется условие $A$;

б) выполняется условие $B$;

в) не выполняется условие $B$;

г) выполняются оба условия $A$ и $B$;

д) не выполняется хотя бы одно из двух условий;

е) не выполняется ни одно из условий;

ж) выполняется хотя бы одно из условий.

В системе 8 пронумерованных лампочек, каждая из которых может быть в одном из двух состояний: гореть или не гореть. Таким образом, общее количество возможных состояний системы равно $2^8 = 256$.

Введем обозначения для событий:

• Событие A: лампочка №1 горит.
• Событие B: обе лампочки №7 и №8 не горят.

Найдем количество состояний, при которых выполняются эти условия.

Для выполнения условия A состояние лампочки №1 зафиксировано (1 вариант), а состояния остальных 7 лампочек могут быть любыми. Количество таких состояний: $N(A) = 1 \times 2^{8-1} = 2^7 = 128$.

Для выполнения условия B состояния лампочек №7 и №8 зафиксированы (по 1 варианту), а состояния остальных 6 лампочек могут быть любыми. Количество таких состояний: $N(B) = 1 \times 1 \times 2^{8-2} = 2^6 = 64$.

Теперь решим задачи по пунктам.

а) не выполняется условие А
Это означает, что лампочка №1 не горит. Её состояние зафиксировано (1 вариант), а состояния остальных 7 лампочек могут быть любыми. Количество таких состояний равно $1 \times 2^7 = 128$.
Альтернативно, это количество можно найти, вычтя из общего числа состояний количество состояний, где условие А выполняется: $256 - N(A) = 256 - 128 = 128$.
Ответ: 128

б) выполняется условие В
Это означает, что лампочки №7 и №8 не горят. Их состояния зафиксированы (по 1 варианту). Состояния остальных $8-2=6$ лампочек могут быть любыми ($2^6$ вариантов). Количество таких состояний равно $2^6 = 64$.
Ответ: 64

в) не выполняется условие В
Это означает, что неверно, что "обе лампочки №7 и №8 не горят", то есть хотя бы одна из них горит. Это событие, противоположное событию B. Количество таких состояний можно найти, вычтя из общего числа состояний количество состояний, где условие B выполняется: $256 - N(B) = 256 - 64 = 192$.
Ответ: 192

г) выполняются оба условия А и В
Это означает, что лампочка №1 горит (условие А) и лампочки №7 и №8 не горят (условие В). Состояния этих трех лампочек зафиксированы. Состояния остальных $8-3=5$ лампочек могут быть любыми ($2^5$ вариантов). Количество таких состояний, которое мы обозначим как $N(A \cap B)$, равно $2^5 = 32$.
Ответ: 32

д) не выполняется хотя бы одно из двух условий
Это событие, противоположное тому, что "выполняются оба условия А и В" (пункт г). Следовательно, количество таких состояний можно найти, вычтя из общего числа состояний количество состояний, где оба условия выполняются одновременно: $256 - N(A \cap B) = 256 - 32 = 224$.
Ответ: 224

е) не выполняется ни одно из условий
Это означает, что условие А не выполняется (лампочка №1 не горит) И условие В не выполняется (хотя бы одна из лампочек №7, №8 горит).
1. Состояние лампочки №1 зафиксировано (1 вариант).
2. Для пары лампочек №7 и №8 всего $2 \times 2 = 4$ варианта состояний. Условию B соответствует 1 вариант (обе не горят). Значит, невыполнению условия B соответствуют $4 - 1 = 3$ варианта.
3. Состояния остальных $8 - 1 - 2 = 5$ лампочек могут быть любыми ($2^5$ вариантов).
Общее количество таких состояний: $1 \times 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$.
Ответ: 96

ж) выполняется хотя бы одно из условий
Это означает, что выполняется или условие А, или условие В, или оба вместе. Для нахождения количества таких состояний $N(A \cup B)$ используем формулу включений-исключений: $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$.
Мы уже вычислили все значения: $N(A) = 128$, $N(B) = 64$ и $N(A \cap B) = 32$.
Количество состояний: $128 + 64 - 32 = 192 - 32 = 160$.
Ответ: 160

10. Имеется 15 книг. Сколькими способами можно выбрать первые три из них и поставить по очереди на полку?

В данной задаче требуется найти количество способов выбрать 3 книги из 15 и расставить их по очереди на полку. Поскольку порядок расстановки книг важен (книга A, B, C — это не то же самое, что B, A, C), мы имеем дело с размещениями.

Для решения можно использовать основное правило комбинаторики — правило умножения.

1. Для выбора первой книги, которая будет стоять на полке, у нас есть 15 вариантов (любая из 15 книг).

2. После того как первая книга выбрана, остается 14 книг. Следовательно, для выбора второй книги у нас есть 14 вариантов.

3. Для выбора третьей книги остается 13 непроставленных книг, то есть 13 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, необходимо перемножить число вариантов для каждого шага:

Число способов = $15 \times 14 \times 13$

Вычислим произведение:

$15 \times 14 = 210$

$210 \times 13 = 2730$

Альтернативно, можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество элементов (книг), а $k$ — количество элементов, которые мы выбираем и упорядочиваем (мест на полке).

В нашем случае $n = 15$ и $k = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 2730

11. а) Сколько существует пятизначных чисел, состоящих только из цифр 1, 4, 7?

б) Сколько всего существует пятизначных чисел?

а)

Чтобы составить пятизначное число, нам нужно заполнить пять позиций: разряд десятков тысяч, разряд тысяч, разряд сотен, разряд десятков и разряд единиц. По условию задачи, мы можем использовать только три цифры: 1, 4 и 7. Поскольку цифры в числе могут повторяться, для каждой из пяти позиций у нас есть 3 независимых варианта выбора.

- На первую позицию можно поставить любую из 3-х цифр (1, 4 или 7).
- На вторую позицию также можно поставить любую из 3-х цифр.
- На третью позицию — 3 варианта.
- На четвертую позицию — 3 варианта.
- На пятую позицию — 3 варианта.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:
$N = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$

Вычислим результат:
$3^5 = 243$

Следовательно, существует 243 пятизначных числа, которые состоят только из цифр 1, 4 и 7.
Ответ: 243.

б)

Чтобы найти общее количество всех существующих пятизначных чисел, мы используем цифры от 0 до 9 (всего 10 цифр). Пятизначное число также имеет пять позиций.

- На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую цифру от 1 до 9. Использовать 0 нельзя, так как число перестанет быть пятизначным (например, 01234 — это четырехзначное число). Таким образом, для первой позиции есть 9 вариантов.
- На каждую из оставшихся четырех позиций (тысячи, сотни, десятки, единицы) можно поставить любую из 10 цифр (от 0 до 9).

Применяя правило произведения, получаем общее количество пятизначных чисел:
$N = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4$

Вычислим результат:
$9 \times 10000 = 90000$

Альтернативный способ решения — найти количество чисел в диапазоне от наименьшего пятизначного (10000) до наибольшего (99999) включительно.
Количество = (Последнее число - Первое число) + 1
$99999 - 10000 + 1 = 89999 + 1 = 90000$

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 90000.

12. Канат и шестеро его друзей купили билеты в кино на один ряд на места с 1 по 7.

а) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат сядет на 1-е или на 7-е место?

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат не сядет ни на 1-е, ни на 7-е место?

В задаче рассматривается рассадка 7 человек (Канат и его 6 друзей) на 7 мест в одном ряду. Это задача из области комбинаторики на нахождение числа перестановок с ограничениями.

а) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат сядет на 1-е или на 7-е место?

Для решения этой задачи мы можем использовать правило сложения для двух несовместных событий: Канат сидит на 1-м месте, и Канат сидит на 7-м месте.

1. Рассмотрим случай, когда Канат садится на 1-е место. Для Каната есть 1 вариант выбора места. Оставшиеся 6 друзей могут сесть на оставшиеся 6 мест. Число способов, которыми можно рассадить 6 человек на 6 местах, равно числу перестановок из 6 элементов, то есть $6!$.
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ способов.

2. Рассмотрим случай, когда Канат садится на 7-е место. Аналогично, для Каната есть 1 вариант, а для его 6 друзей — $6!$ способов занять оставшиеся места.
Это также составляет $720$ способов.

Поскольку эти два случая взаимоисключающие, общее число способов равно сумме способов для каждого случая:
$720 + 720 = 1440$ способов.

Альтернативный подсчет: у Каната есть 2 возможных места (1-е или 7-е). После того как он сядет, остается 6 друзей, которых нужно рассадить на 6 оставшихся мест. Это можно сделать $6!$ способами. Общее число способов равно $2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440$.

Ответ: 1440.

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат не сядет ни на 1-е, ни на 7-е место?

Для решения этой задачи можно найти общее число рассадок и вычесть из него число "неблагоприятных" рассадок (которые мы нашли в пункте а), либо посчитать напрямую.

Способ 1: Прямой подсчет.
Канат не может сидеть на 1-м и 7-м местах. Значит, для него доступны места со 2-го по 6-е включительно.
1. Число возможных мест для Каната: $7 - 2 = 5$ мест.
2. После того как Канат занял одно из этих 5 мест, остается 6 свободных мест и 6 друзей. Их можно рассадить на эти 6 мест $6!$ способами.
Общее количество способов равно произведению числа вариантов для Каната и числа перестановок для его друзей:
$5 \times 6! = 5 \times 720 = 3600$ способов.

Способ 2: Через дополнение.
1. Общее количество способов рассадить 7 человек на 7 местах без каких-либо ограничений равно $7!$.
$7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5040$ способов.
2. Из этого общего числа вычтем количество способов, при которых Канат сидит на 1-м или 7-м месте. Это число мы нашли в пункте а), оно равно 1440.
$5040 - 1440 = 3600$ способов.

Ответ: 3600.