Страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

13. В турнире по шахматам участвуют 10 шахматистов и каждый играет с каждым ровно одну партию. Сколько партий должно быть сыграно?

Решение. Для решения этой задачи нужно определить количество уникальных пар игроков, которые можно составить из 10 шахматистов, так как каждая уникальная пара соответствует одной партии. Это классическая задача комбинаторики на нахождение числа сочетаний.

В турнире участвуют $n = 10$ шахматистов. Каждая партия играется между двумя шахматистами, то есть $k = 2$. Поскольку порядок игроков в партии не важен (партия между Игроком 1 и Игроком 2 — это та же самая партия, что и между Игроком 2 и Игроком 1), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим в формулу наши значения: $n=10$ и $k=2$.

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!}$

Сокращаем $8!$ в числителе и знаменателе:

$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Также можно рассуждать иначе. Каждый из 10 шахматистов играет с 9 другими. Если мы перемножим эти числа ($10 \cdot 9 = 90$), то мы посчитаем каждую партию дважды (один раз со стороны первого игрока, и второй раз — со стороны второго). Чтобы получить истинное количество партий, результат нужно разделить на 2: $90 \div 2 = 45$.

Ответ: 45.

14. На плоскости отмечено 15 зеленых и 18 голубых точек. Каждую из точек соединили с каждой отрезком.
а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?
б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?
в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?

а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?

Для того чтобы найти количество отрезков, у которых оба конца голубого цвета, необходимо посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 18 имеющихся голубых точек. Поскольку порядок выбора точек для отрезка не важен (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 18$ (общее количество голубых точек), а $k = 2$ (количество точек, необходимых для построения одного отрезка).
Подставляем значения в формулу:
$C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153$.
Таким образом, можно провести 153 отрезка с обоими голубыми концами.
Ответ: 153.

б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?

Решение аналогично предыдущему пункту, но теперь мы рассматриваем 15 зеленых точек. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 точки из 15 зеленых.
Здесь $n = 15$ и $k = 2$.
Вычисляем число сочетаний:
$C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105$.
Следовательно, существует 105 отрезков с обоими зелеными концами.
Ответ: 105.

в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?

Отрезки, у которых концы не совпадают по цвету, соединяют одну зеленую и одну голубую точку. Чтобы найти их общее количество, мы должны использовать правило произведения из комбинаторики.
Нам нужно выбрать 1 зеленую точку из 15 имеющихся и 1 голубую точку из 18 имеющихся.
Число способов выбрать 1 зеленую точку равно 15.
Число способов выбрать 1 голубую точку равно 18.
Общее количество таких "разноцветных" отрезков равно произведению числа способов выбора точки каждого цвета:
$15 \cdot 18 = 270$.
Итак, существует 270 отрезков, у которых концы разного цвета.
Ответ: 270.

15. В магазине продаются 7 видов мороженого и 10 видов пирожных. Сколькими способами можно купить набор из 3 видов мороженого и 3 видов пирожных?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, поскольку порядок выбора видов мороженого и пирожных для набора не имеет значения. Задача разбивается на две независимые части: выбор мороженого и выбор пирожных.

Сначала определим, сколькими способами можно выбрать 3 вида мороженого из 7 доступных. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний без повторений. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.В данном случае, $n=7$ (общее количество видов мороженого) и $k=3$ (количество видов, которое нужно выбрать).Число способов выбрать мороженое:$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35$ способов.

Далее, аналогичным образом определим, сколькими способами можно выбрать 3 вида пирожных из 10 доступных. Здесь $n=10$ (общее количество видов пирожных) и $k=3$ (количество видов, которое нужно выбрать).Число способов выбрать пирожные:$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{(3 \times 2 \times 1) \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать набор, состоящий из мороженого и пирожных, необходимо перемножить количество способов выбора для каждой категории (согласно правилу произведения в комбинаторике).Общее количество способов = (количество способов выбрать мороженое) $\times$ (количество способов выбрать пирожные).Общее количество способов = $35 \times 120 = 4200$.

Ответ: 4200

16. Имеется 3 одинаковых белых шара и 4 одинаковых красных. Сколькими способами можно поставить их в один ряд так, чтобы на третьем месте оказался белый шар?

Всего имеется 7 шаров: 3 одинаковых белых и 4 одинаковых красных. Их нужно расставить в ряд так, чтобы на третьей позиции оказался белый шар. Общее число позиций в ряду равно 7.

Зафиксируем один белый шар на третьей позиции. Поскольку все белые шары неотличимы друг от друга, этот шаг не добавляет вариантов. После этого у нас остается $3 - 1 = 2$ белых шара и 4 красных шара, которые нужно расставить на оставшиеся $7 - 1 = 6$ свободных позиций.

Задача сводится к нахождению числа способов разместить 2 белых и 4 красных шара на 6 местах. Это является задачей о перестановках с повторениями. Число таких перестановок находится по формуле:

$P_{n}(k_1, k_2) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2!}$

где $n$ — общее число объектов для перестановки, а $k_1$ и $k_2$ — количество одинаковых объектов каждого типа.

В нашем случае $n = 6$ (оставшиеся места), $k_1 = 2$ (оставшиеся белые шары), $k_2 = 4$ (красные шары). Подставим эти значения в формулу:

$N = \frac{6!}{2! \cdot 4!}$

Выполним вычисления, сократив факториалы:

$N = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа сочетаний. Нам нужно выбрать 2 позиции для 2 оставшихся белых шаров из 6 свободных мест. Количество способов это сделать равно:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

После того как места для белых шаров выбраны, оставшиеся 4 места однозначно заполняются красными шарами.

Ответ: 15

17. На окружности отмечены 6 красных и 9 синих точек.

а) Сколько существует треугольников с вершинами во всех отмеченных точках?

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина синяя?

в) Сколько существует треугольников, у которых хотя бы две вершины синие?

а) Сколько существует треугольников с вершинами во всех отмеченных точках?

Всего на окружности отмечено $6 + 9 = 15$ точек. Для построения треугольника необходимо выбрать 3 вершины из этих 15 точек. Поскольку все точки лежат на окружности, любые три из них не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой) и, следовательно, образуют треугольник. Количество способов выбрать 3 точки из 15 равно числу сочетаний из 15 по 3, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=15$ и $k=3$:

$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

Ответ: 455

б) Сколько существует треугольников, у которых ровно одна вершина синяя?

Для того чтобы у треугольника была ровно одна синяя вершина, необходимо, чтобы две другие его вершины были красными. Следовательно, нам нужно выбрать 1 синюю вершину из 9 и 2 красные вершины из 6.

Количество способов выбрать 1 синюю вершину из 9 равно:

$C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = 9$

Количество способов выбрать 2 красные вершины из 6 равно:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество таких треугольников равно произведению этих двух значений:

$C_9^1 \times C_6^2 = 9 \times 15 = 135$

Ответ: 135

в) Сколько существует треугольников, у которых хотя бы две вершины синие?

Фраза "хотя бы две вершины синие" означает, что у треугольника могут быть либо ровно две синие вершины, либо все три вершины синие. Мы можем рассчитать количество треугольников для каждого из этих случаев и сложить результаты.

Случай 1: Ровно две синие вершины.

Это означает, что третья вершина должна быть красной. Нам нужно выбрать 2 синие вершины из 9 и 1 красную вершину из 6.

Количество способов выбрать 2 синие вершины: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$

Количество способов выбрать 1 красную вершину: $C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$

Общее количество треугольников в этом случае: $36 \times 6 = 216$

Случай 2: Ровно три синие вершины.

Это означает, что все три вершины должны быть синими. Нам нужно выбрать 3 синие вершины из 9.

Количество способов выбрать 3 синие вершины: $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

Теперь сложим количество треугольников из обоих случаев, чтобы найти общее количество треугольников с хотя бы двумя синими вершинами:

$216 + 84 = 300$

Альтернативное решение: можно из общего числа треугольников (из пункта а) вычесть число треугольников, у которых 0 синих вершин (т.е. все 3 красные) и число треугольников, у которых 1 синяя вершина (из пункта б).

Число треугольников с 3 красными вершинами: $C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

Число треугольников с 1 синей вершиной: 135.

Тогда искомое число: $455 - 20 - 135 = 300$.

Ответ: 300

18. (З) Одно испытание состоит в трехкратном подбрасывании игрального кубика. После каждого подбрасывания записывают выпавшее число. Таким образом, после каждого испытания получается некоторая последовательность из трех чисел.

a) Чему равно количество всех возможных последовательностей?

Пусть условие А состоит в том, что первое из трех чисел последовательности равно 1; условие В состоит в том, что последнее из трех чисел равно 5 или 6. Определите количество последовательностей, для которых:

б) не выполняется условие А;

в) выполняется условие В;

г) не выполняется условие В;

д) выполняются оба условия А и В;

е) не выполняется хотя бы одно из двух условий;

ж) не выполняется ни одно из условий;

з) выполняется хотя бы одно из условий.

а) Чему равно количество всех возможных последовательностей?

При каждом из трех подбрасываний игрального кубика может выпасть одно из 6 чисел (от 1 до 6). Поскольку результаты подбрасываний являются независимыми событиями, общее количество всех возможных последовательностей находится по правилу произведения. Для первой позиции в последовательности есть 6 вариантов, для второй — 6 вариантов, и для третьей — также 6 вариантов.

Общее количество последовательностей $N_{общ}$ равно:

$N_{общ} = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$

Ответ: 216

Для решения следующих пунктов определим количество последовательностей, удовлетворяющих условиям А и В по отдельности и вместе.

Количество последовательностей, для которых выполняется условие А (первое число равно 1):
На первом месте стоит 1 (1 вариант), на втором и третьем местах могут быть любые числа (по 6 вариантов).
$N(А) = 1 \times 6 \times 6 = 36$

Количество последовательностей, для которых выполняется условие В (последнее число равно 5 или 6):
На первом и втором местах могут быть любые числа (по 6 вариантов), на третьем месте — 5 или 6 (2 варианта).
$N(В) = 6 \times 6 \times 2 = 72$

б) не выполняется условие А;

Условие А не выполняется, если первое число в последовательности не равно 1. Это означает, что для первого числа есть 5 вариантов (2, 3, 4, 5, 6). Для второго и третьего чисел по-прежнему по 6 вариантов. Количество таких последовательностей:

$5 \times 6 \times 6 = 180$

Также это можно найти, вычитая из общего числа последовательностей те, где условие А выполняется: $N_{общ} - N(А) = 216 - 36 = 180$.

Ответ: 180

в) выполняется условие В;

Это количество мы уже рассчитали при подготовке. Условие В выполняется, если последнее число равно 5 или 6. Для первого и второго чисел есть по 6 вариантов, а для третьего — 2 варианта.

$6 \times 6 \times 2 = 72$

Ответ: 72

г) не выполняется условие В;

Условие В не выполняется, если последнее число не равно ни 5, ни 6. Это означает, что для последнего числа есть 4 варианта (1, 2, 3, 4). Для первого и второго чисел — по 6 вариантов.

$6 \times 6 \times 4 = 144$

Также это можно найти, вычитая из общего числа последовательностей те, где условие В выполняется: $N_{общ} - N(В) = 216 - 72 = 144$.

Ответ: 144

д) выполняются оба условия А и В;

Оба условия выполняются, если первое число равно 1 (1 вариант), а последнее — 5 или 6 (2 варианта). Второе число может быть любым (6 вариантов). Количество таких последовательностей:

$N(А \text{ и } В) = 1 \times 6 \times 2 = 12$

Ответ: 12

е) не выполняется хотя бы одно из двух условий;

Фраза «не выполняется хотя бы одно из двух условий» является логическим отрицанием фразы «выполняются оба условия А и В». Следовательно, нужно из общего количества последовательностей вычесть количество тех, где выполняются оба условия (найдено в пункте д).

$N_{общ} - N(А \text{ и } В) = 216 - 12 = 204$

Ответ: 204

ж) не выполняется ни одно из условий;

Это означает, что условие А не выполняется (первое число не 1 — 5 вариантов) и одновременно не выполняется условие В (последнее число не 5 и не 6 — 4 варианта). Второе число может быть любым (6 вариантов).

$5 \times 6 \times 4 = 120$

Ответ: 120

з) выполняется хотя бы одно из условий.

Это означает, что выполняется или условие А, или условие В, или оба вместе. Для нахождения этого количества используется формула включений-исключений: нужно сложить количества последовательностей, удовлетворяющих А и В, и вычесть количество тех, где они выполняются одновременно (чтобы не посчитать их дважды).

$N(А \text{ или } В) = N(А) + N(В) - N(А \text{ и } В) = 36 + 72 - 12 = 96$

Другой способ: это событие является противоположным событию из пункта ж) «не выполняется ни одно из условий». Поэтому можно из общего числа вычесть количество, найденное в пункте ж): $216 - 120 = 96$.

Ответ: 96

19. А и В - дети С, С - мать А, А - сын С, но В не дочь С. Кем друг другу приходятся А и В?

Для решения этой логической задачи проанализируем последовательно все условия:

1. А и В – дети С. Это означает, что у А и В есть общий родитель (С), и, следовательно, А и В являются сиблингами (братом и/или сестрой).

2. С – мать А. Это условие уточняет, что общий родитель С является женщиной, то есть матерью для своих детей.

3. А – сын С. Отсюда мы узнаем пол А. А – это мальчик.

4. но В не дочь С. Мы знаем, что В является ребенком С. Если В не является дочерью, то, по логике, В должен быть сыном. Следовательно, В – это тоже мальчик.

Таким образом, А и В – это два сына одной матери С. Это означает, что они являются братьями.

Ответ: А и В приходятся друг другу братьями.

20. От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Наконец, я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Только после этого я выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или кофе?

Чтобы определить, чего было выпито больше, проследим за общим количеством выпитого кофе и общим количеством выпитого молока. Пусть полный объем стакана равен $V$.

Сколько всего выпито кофе?
В самом начале стакан был полностью наполнен кофе, то есть в нем находился объем $V$ кофе. В процессе в стакан добавлялось только молоко, нового кофе не появлялось. В конце всё содержимое стакана было выпито до конца. Это означает, что весь первоначальный объем кофе, который был в стакане, был в итоге выпит.
Таким образом, общее количество выпитого кофе равно $V$.

Сколько всего выпито молока?
Теперь посчитаем, сколько всего молока было добавлено в стакан. Молоко добавлялось каждый раз после того, как отпивалась часть напитка, в том же объеме, что и был отпит.
1. В первый раз было отпито $\frac{1}{2}$ стакана и, соответственно, долито $\frac{V}{2}$ молока.
2. Во второй раз было отпито $\frac{1}{3}$ стакана и долито $\frac{V}{3}$ молока.
3. В третий раз было отпито $\frac{1}{6}$ стакана и долито $\frac{V}{6}$ молока.

Суммарный объем молока, добавленного в стакан, равен сумме объемов, долитых на каждом шаге:
$V_{молока} = \frac{V}{2} + \frac{V}{3} + \frac{V}{6}$
Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю 6:
$V_{молока} = \frac{3V}{6} + \frac{2V}{6} + \frac{V}{6} = \frac{3V + 2V + V}{6} = \frac{6V}{6} = V$

Всего в стакан было добавлено $V$ молока. Поскольку в конце стакан оказался пуст, всё добавленное молоко было полностью выпито.
Следовательно, общее количество выпитого молока также равно $V$.

Вывод
Сравнивая итоговые объемы, получаем:
Объем выпитого кофе = $V$.
Объем выпитого молока = $V$.
Количества выпитого кофе и молока равны.

Ответ: Я выпил одинаковое количество молока и кофе.