Номер 18, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (З) Одно испытание состоит в трехкратном подбрасывании игрального кубика. После каждого подбрасывания записывают выпавшее число. Таким образом, после каждого испытания получается некоторая последовательность из трех чисел.

a) Чему равно количество всех возможных последовательностей?

Пусть условие А состоит в том, что первое из трех чисел последовательности равно 1; условие В состоит в том, что последнее из трех чисел равно 5 или 6. Определите количество последовательностей, для которых:

б) не выполняется условие А;

в) выполняется условие В;

г) не выполняется условие В;

д) выполняются оба условия А и В;

е) не выполняется хотя бы одно из двух условий;

ж) не выполняется ни одно из условий;

з) выполняется хотя бы одно из условий.

а) Чему равно количество всех возможных последовательностей?

При каждом из трех подбрасываний игрального кубика может выпасть одно из 6 чисел (от 1 до 6). Поскольку результаты подбрасываний являются независимыми событиями, общее количество всех возможных последовательностей находится по правилу произведения. Для первой позиции в последовательности есть 6 вариантов, для второй — 6 вариантов, и для третьей — также 6 вариантов.

Общее количество последовательностей $N_{общ}$ равно:

$N_{общ} = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$

Ответ: 216

Для решения следующих пунктов определим количество последовательностей, удовлетворяющих условиям А и В по отдельности и вместе.

Количество последовательностей, для которых выполняется условие А (первое число равно 1):
На первом месте стоит 1 (1 вариант), на втором и третьем местах могут быть любые числа (по 6 вариантов).
$N(А) = 1 \times 6 \times 6 = 36$

Количество последовательностей, для которых выполняется условие В (последнее число равно 5 или 6):
На первом и втором местах могут быть любые числа (по 6 вариантов), на третьем месте — 5 или 6 (2 варианта).
$N(В) = 6 \times 6 \times 2 = 72$

б) не выполняется условие А;

Условие А не выполняется, если первое число в последовательности не равно 1. Это означает, что для первого числа есть 5 вариантов (2, 3, 4, 5, 6). Для второго и третьего чисел по-прежнему по 6 вариантов. Количество таких последовательностей:

$5 \times 6 \times 6 = 180$

Также это можно найти, вычитая из общего числа последовательностей те, где условие А выполняется: $N_{общ} - N(А) = 216 - 36 = 180$.

Ответ: 180

в) выполняется условие В;

Это количество мы уже рассчитали при подготовке. Условие В выполняется, если последнее число равно 5 или 6. Для первого и второго чисел есть по 6 вариантов, а для третьего — 2 варианта.

$6 \times 6 \times 2 = 72$

Ответ: 72

г) не выполняется условие В;

Условие В не выполняется, если последнее число не равно ни 5, ни 6. Это означает, что для последнего числа есть 4 варианта (1, 2, 3, 4). Для первого и второго чисел — по 6 вариантов.

$6 \times 6 \times 4 = 144$

Также это можно найти, вычитая из общего числа последовательностей те, где условие В выполняется: $N_{общ} - N(В) = 216 - 72 = 144$.

Ответ: 144

д) выполняются оба условия А и В;

Оба условия выполняются, если первое число равно 1 (1 вариант), а последнее — 5 или 6 (2 варианта). Второе число может быть любым (6 вариантов). Количество таких последовательностей:

$N(А \text{ и } В) = 1 \times 6 \times 2 = 12$

Ответ: 12

е) не выполняется хотя бы одно из двух условий;

Фраза «не выполняется хотя бы одно из двух условий» является логическим отрицанием фразы «выполняются оба условия А и В». Следовательно, нужно из общего количества последовательностей вычесть количество тех, где выполняются оба условия (найдено в пункте д).

$N_{общ} - N(А \text{ и } В) = 216 - 12 = 204$

Ответ: 204

ж) не выполняется ни одно из условий;

Это означает, что условие А не выполняется (первое число не 1 — 5 вариантов) и одновременно не выполняется условие В (последнее число не 5 и не 6 — 4 варианта). Второе число может быть любым (6 вариантов).

$5 \times 6 \times 4 = 120$

Ответ: 120

з) выполняется хотя бы одно из условий.

Это означает, что выполняется или условие А, или условие В, или оба вместе. Для нахождения этого количества используется формула включений-исключений: нужно сложить количества последовательностей, удовлетворяющих А и В, и вычесть количество тех, где они выполняются одновременно (чтобы не посчитать их дважды).

$N(А \text{ или } В) = N(А) + N(В) - N(А \text{ и } В) = 36 + 72 - 12 = 96$

Другой способ: это событие является противоположным событию из пункта ж) «не выполняется ни одно из условий». Поэтому можно из общего числа вычесть количество, найденное в пункте ж): $216 - 120 = 96$.

Ответ: 96