Номер 11, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. а) Сколько существует пятизначных чисел, состоящих только из цифр 1, 4, 7?

б) Сколько всего существует пятизначных чисел?

а)

Чтобы составить пятизначное число, нам нужно заполнить пять позиций: разряд десятков тысяч, разряд тысяч, разряд сотен, разряд десятков и разряд единиц. По условию задачи, мы можем использовать только три цифры: 1, 4 и 7. Поскольку цифры в числе могут повторяться, для каждой из пяти позиций у нас есть 3 независимых варианта выбора.

- На первую позицию можно поставить любую из 3-х цифр (1, 4 или 7).
- На вторую позицию также можно поставить любую из 3-х цифр.
- На третью позицию — 3 варианта.
- На четвертую позицию — 3 варианта.
- На пятую позицию — 3 варианта.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:
$N = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$

Вычислим результат:
$3^5 = 243$

Следовательно, существует 243 пятизначных числа, которые состоят только из цифр 1, 4 и 7.
Ответ: 243.

б)

Чтобы найти общее количество всех существующих пятизначных чисел, мы используем цифры от 0 до 9 (всего 10 цифр). Пятизначное число также имеет пять позиций.

- На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую цифру от 1 до 9. Использовать 0 нельзя, так как число перестанет быть пятизначным (например, 01234 — это четырехзначное число). Таким образом, для первой позиции есть 9 вариантов.
- На каждую из оставшихся четырех позиций (тысячи, сотни, десятки, единицы) можно поставить любую из 10 цифр (от 0 до 9).

Применяя правило произведения, получаем общее количество пятизначных чисел:
$N = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4$

Вычислим результат:
$9 \times 10000 = 90000$

Альтернативный способ решения — найти количество чисел в диапазоне от наименьшего пятизначного (10000) до наибольшего (99999) включительно.
Количество = (Последнее число - Первое число) + 1
$99999 - 10000 + 1 = 89999 + 1 = 90000$

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 90000.