Номер 14, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. На плоскости отмечено 15 зеленых и 18 голубых точек. Каждую из точек соединили с каждой отрезком.
а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?
б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?
в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?

а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?

Для того чтобы найти количество отрезков, у которых оба конца голубого цвета, необходимо посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 18 имеющихся голубых точек. Поскольку порядок выбора точек для отрезка не важен (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 18$ (общее количество голубых точек), а $k = 2$ (количество точек, необходимых для построения одного отрезка).
Подставляем значения в формулу:
$C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153$.
Таким образом, можно провести 153 отрезка с обоими голубыми концами.
Ответ: 153.

б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?

Решение аналогично предыдущему пункту, но теперь мы рассматриваем 15 зеленых точек. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 точки из 15 зеленых.
Здесь $n = 15$ и $k = 2$.
Вычисляем число сочетаний:
$C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105$.
Следовательно, существует 105 отрезков с обоими зелеными концами.
Ответ: 105.

в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?

Отрезки, у которых концы не совпадают по цвету, соединяют одну зеленую и одну голубую точку. Чтобы найти их общее количество, мы должны использовать правило произведения из комбинаторики.
Нам нужно выбрать 1 зеленую точку из 15 имеющихся и 1 голубую точку из 18 имеющихся.
Число способов выбрать 1 зеленую точку равно 15.
Число способов выбрать 1 голубую точку равно 18.
Общее количество таких "разноцветных" отрезков равно произведению числа способов выбора точки каждого цвета:
$15 \cdot 18 = 270$.
Итак, существует 270 отрезков, у которых концы разного цвета.
Ответ: 270.