Номер 9, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (3) Система состоит из восьми пронумерованных лампочек, каждая из которых может либо гореть, либо не гореть независимо от других. Сформулируем условие $A$: лампочка №1 горит. Условие $B$: обе лампочки №7 и №8 не горят. Определите количество состояний системы, для которых:

а) не выполняется условие $A$;

б) выполняется условие $B$;

в) не выполняется условие $B$;

г) выполняются оба условия $A$ и $B$;

д) не выполняется хотя бы одно из двух условий;

е) не выполняется ни одно из условий;

ж) выполняется хотя бы одно из условий.

В системе 8 пронумерованных лампочек, каждая из которых может быть в одном из двух состояний: гореть или не гореть. Таким образом, общее количество возможных состояний системы равно $2^8 = 256$.

Введем обозначения для событий:

• Событие A: лампочка №1 горит.
• Событие B: обе лампочки №7 и №8 не горят.

Найдем количество состояний, при которых выполняются эти условия.

Для выполнения условия A состояние лампочки №1 зафиксировано (1 вариант), а состояния остальных 7 лампочек могут быть любыми. Количество таких состояний: $N(A) = 1 \times 2^{8-1} = 2^7 = 128$.

Для выполнения условия B состояния лампочек №7 и №8 зафиксированы (по 1 варианту), а состояния остальных 6 лампочек могут быть любыми. Количество таких состояний: $N(B) = 1 \times 1 \times 2^{8-2} = 2^6 = 64$.

Теперь решим задачи по пунктам.

а) не выполняется условие А
Это означает, что лампочка №1 не горит. Её состояние зафиксировано (1 вариант), а состояния остальных 7 лампочек могут быть любыми. Количество таких состояний равно $1 \times 2^7 = 128$.
Альтернативно, это количество можно найти, вычтя из общего числа состояний количество состояний, где условие А выполняется: $256 - N(A) = 256 - 128 = 128$.
Ответ: 128

б) выполняется условие В
Это означает, что лампочки №7 и №8 не горят. Их состояния зафиксированы (по 1 варианту). Состояния остальных $8-2=6$ лампочек могут быть любыми ($2^6$ вариантов). Количество таких состояний равно $2^6 = 64$.
Ответ: 64

в) не выполняется условие В
Это означает, что неверно, что "обе лампочки №7 и №8 не горят", то есть хотя бы одна из них горит. Это событие, противоположное событию B. Количество таких состояний можно найти, вычтя из общего числа состояний количество состояний, где условие B выполняется: $256 - N(B) = 256 - 64 = 192$.
Ответ: 192

г) выполняются оба условия А и В
Это означает, что лампочка №1 горит (условие А) и лампочки №7 и №8 не горят (условие В). Состояния этих трех лампочек зафиксированы. Состояния остальных $8-3=5$ лампочек могут быть любыми ($2^5$ вариантов). Количество таких состояний, которое мы обозначим как $N(A \cap B)$, равно $2^5 = 32$.
Ответ: 32

д) не выполняется хотя бы одно из двух условий
Это событие, противоположное тому, что "выполняются оба условия А и В" (пункт г). Следовательно, количество таких состояний можно найти, вычтя из общего числа состояний количество состояний, где оба условия выполняются одновременно: $256 - N(A \cap B) = 256 - 32 = 224$.
Ответ: 224

е) не выполняется ни одно из условий
Это означает, что условие А не выполняется (лампочка №1 не горит) И условие В не выполняется (хотя бы одна из лампочек №7, №8 горит).
1. Состояние лампочки №1 зафиксировано (1 вариант).
2. Для пары лампочек №7 и №8 всего $2 \times 2 = 4$ варианта состояний. Условию B соответствует 1 вариант (обе не горят). Значит, невыполнению условия B соответствуют $4 - 1 = 3$ варианта.
3. Состояния остальных $8 - 1 - 2 = 5$ лампочек могут быть любыми ($2^5$ вариантов).
Общее количество таких состояний: $1 \times 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$.
Ответ: 96

ж) выполняется хотя бы одно из условий
Это означает, что выполняется или условие А, или условие В, или оба вместе. Для нахождения количества таких состояний $N(A \cup B)$ используем формулу включений-исключений: $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$.
Мы уже вычислили все значения: $N(A) = 128$, $N(B) = 64$ и $N(A \cap B) = 32$.
Количество состояний: $128 + 64 - 32 = 192 - 32 = 160$.
Ответ: 160