Номер 12, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. Канат и шестеро его друзей купили билеты в кино на один ряд на места с 1 по 7.

а) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат сядет на 1-е или на 7-е место?

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат не сядет ни на 1-е, ни на 7-е место?

В задаче рассматривается рассадка 7 человек (Канат и его 6 друзей) на 7 мест в одном ряду. Это задача из области комбинаторики на нахождение числа перестановок с ограничениями.

а) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат сядет на 1-е или на 7-е место?

Для решения этой задачи мы можем использовать правило сложения для двух несовместных событий: Канат сидит на 1-м месте, и Канат сидит на 7-м месте.

1. Рассмотрим случай, когда Канат садится на 1-е место. Для Каната есть 1 вариант выбора места. Оставшиеся 6 друзей могут сесть на оставшиеся 6 мест. Число способов, которыми можно рассадить 6 человек на 6 местах, равно числу перестановок из 6 элементов, то есть $6!$.
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ способов.

2. Рассмотрим случай, когда Канат садится на 7-е место. Аналогично, для Каната есть 1 вариант, а для его 6 друзей — $6!$ способов занять оставшиеся места.
Это также составляет $720$ способов.

Поскольку эти два случая взаимоисключающие, общее число способов равно сумме способов для каждого случая:
$720 + 720 = 1440$ способов.

Альтернативный подсчет: у Каната есть 2 возможных места (1-е или 7-е). После того как он сядет, остается 6 друзей, которых нужно рассадить на 6 оставшихся мест. Это можно сделать $6!$ способами. Общее число способов равно $2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440$.

Ответ: 1440.

б) Сколькими способами они могут занять свои места так, что Канат не сядет ни на 1-е, ни на 7-е место?

Для решения этой задачи можно найти общее число рассадок и вычесть из него число "неблагоприятных" рассадок (которые мы нашли в пункте а), либо посчитать напрямую.

Способ 1: Прямой подсчет.
Канат не может сидеть на 1-м и 7-м местах. Значит, для него доступны места со 2-го по 6-е включительно.
1. Число возможных мест для Каната: $7 - 2 = 5$ мест.
2. После того как Канат занял одно из этих 5 мест, остается 6 свободных мест и 6 друзей. Их можно рассадить на эти 6 мест $6!$ способами.
Общее количество способов равно произведению числа вариантов для Каната и числа перестановок для его друзей:
$5 \times 6! = 5 \times 720 = 3600$ способов.

Способ 2: Через дополнение.
1. Общее количество способов рассадить 7 человек на 7 местах без каких-либо ограничений равно $7!$.
$7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5040$ способов.
2. Из этого общего числа вычтем количество способов, при которых Канат сидит на 1-м или 7-м месте. Это число мы нашли в пункте а), оно равно 1440.
$5040 - 1440 = 3600$ способов.

Ответ: 3600.