Номер 5, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. На плоскости отмечено 5 зеленых и 8 голубых точек. Каждую из точек соединили с каждой отрезком.

а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?

б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?

в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?

а) Сколько отрезков имеют оба конца голубого цвета?
Чтобы найти количество отрезков, у которых оба конца голубого цвета, необходимо вычислить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 8 имеющихся голубых точек. Поскольку порядок выбора точек для отрезка не важен (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае у нас $n=8$ (количество голубых точек) и $k=2$ (поскольку отрезок соединяет две точки).
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$.
Таким образом, существует 28 отрезков с обоими концами голубого цвета.
Ответ: 28

б) Сколько отрезков имеют оба конца зеленого цвета?
Аналогично предыдущему пункту, для нахождения количества отрезков с зелеными концами нужно посчитать число сочетаний двух точек из пяти доступных зеленых точек. Здесь $n=5$ и $k=2$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.
Следовательно, можно построить 10 отрезков с обоими концами зеленого цвета.
Ответ: 10

в) У какого количества отрезков концы не совпадают по цвету?
Отрезок, у которого концы не совпадают по цвету, соединяет одну зеленую и одну голубую точку. Чтобы найти их количество, мы должны выбрать 1 зеленую точку из 5 и 1 голубую точку из 8. По комбинаторному правилу произведения, общее число таких пар (и, соответственно, отрезков) равно произведению числа способов выбора для каждого цвета.
Число способов выбрать 1 зеленую точку из 5 равно 5.
Число способов выбрать 1 голубую точку из 8 равно 8.
Общее количество разноцветных отрезков: $5 \times 8 = 40$.
Существует и второй способ решения. Можно найти общее количество всех возможных отрезков и вычесть из него количество одноцветных отрезков (найденных в пунктах а и б).
Всего точек на плоскости: $5$ зеленых + $8$ голубых = $13$ точек.
Общее количество отрезков: $C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \times 12}{2} = 78$.
Количество разноцветных отрезков: $78 - (28 + 10) = 78 - 38 = 40$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 40